Addition des entiers naturels
L'addition des entiers naturels est l'opération arithmétique la plus élémentaire.
Dans cet article, nous la définissons à partir des axiomes de Peano (voir entier naturel) et démontrons quelques propriétés élémentaires. L'ensemble des entiers naturels sera noté 
; zéro est considéré comme un entier naturel.
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Définition
Définition intuitive
L'opération d'addition sur des entiers permet de donner le nombre d'éléments présents dans un ensemble composé de deux sous-ensembles dont le nombre d'éléments de chacun est connu.
Exemple : deux bonbons réunis avec cinq bonbons font sept bonbons. On note: 2 + 5 = 7
Pour les additions de petits nombres une table d'addition, lue ou mémorisée, doit être utilisée.
Pour les nombres plus grands, on est amené à utiliser un algorithme. (niveau CP-CE1). Voir Faire une addition à la main
Définition mathématique
L'opération d'addition, généralement écrite avec l'opérateur infixe +, est une fonction de 
a + b = c
a et b sont appelés les opérandes, tandis que c est appelé la somme.
On désigne ici par a+ le successeur de a défini par les axiomes de Peano.
Construction par récurrence
Selon Peano, la somme est définie par le schéma de récurrence suivant, qui en assure l'existence et qu'on peut voir comme deux axiomes résumant les propriétés fondamentales de l'addition
- a + 0 = a
- a + (b+) = (a + b)+
Le premier est référencé par AP1, et le second par AP2.
Propriétés
- Unicité : (a + b) est unique. i.e. si (a.b) satisfait aussi à [AP1] et [AP2] alors (a.b) = (a + b).
- La loi d'associativité : (a + b) + c = a + (b + c)
- La loi de commutativité : a + b = b + a
Preuve d'unicité
Nous allons démontrer l'unicité par récurrence sur b.
Initialisation: pour tout a, (a.0) = a [d'après AP1] = (a + 0) [d'après AP1]
Hypothèse de récurrence : pour tout a, (a.b) = (a + b)
- (a.b+)
- = (a.b)+ [d'après AP2]
- = (a + b)+ [par hypothèse]
- = (a + b+) [d'après AP2]
Preuve de l'associativité
Nous allons prouver l'associativité par récurrence sur c.
Initialisation: pour tous a et b, (a + b) + 0 = a + b [d'après AP1] = a + (b + 0) [d'après AP1]
Hypothèse de récurrence: pour tous a et b, (a + b) + c = a + (b + c)
- (a + b) + c+
- = ((a + b) + c)+ [d'après AP2]
- = (a + (b + c))+ [par hypothèse]
- = a + (b + c)+ [d'après AP2]
- = a + (b + c+) [d'après AP2]
Preuve de la commutativité
Nous allons prouver la commutativité par récurrence sur b.
Initialisation : pour tout a, a + 0 = a = 0 + a et a + 1 = a+ = 1 + a
La preuve de l'initialisation se fait par récurrence sur a.
Hypothèse de récurrence : pour tout a, a + b = b + a
- a + b+
- = a + (1 + b) [en utilisant l'initialisation]
- = (a + 1) + b [d'après l'associativité]
- = b + (a + 1) [par hypothèse]
- = b + (1 + a) [en utilisant l'initialisation]
- = (b + 1) + a [d'après l'associativité]
- = b+ + a [en utilisant l'initialisation]