Aire de surfaces usuelles
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Aire de surfaces planes
Carré
L'aire du carré se calcule en multipliant la longueur du côté par lui-même. Si le côté est nommé a, l'aire A vaut donc
- A = a².
D'où l'étymologie de l'expression carré d'un nombre.
Rectangle
Si les longueurs des côtés sont a et b, alors l'aire du rectangle vaut le produit
- A = a × b.
Triangle
Si ABC est un triangle (quelconque), soit h la hauteur du triangle en B (la longueur du segment [BH], H étant le projeté orthogonal de B sur (AC)) et b est la longueur du segment [AC], alors l'aire du triangle vaut
- A = (b × h) / 2.
Voir la preuve.
- Voir aussi : Formule de Héron.
Trapèze
L'aire du trapèze vaut le produit de sa hauteur par la demi-somme de ses bases.
Losange
Si a et b sont les longueurs de ses diagonales, alors l'aire du losange est
- A = (a × b) / 2
Voir la preuve.
Parallélogramme
Pour un parallélogramme dont les côtés adjacents ont pour longueurs a et b et forment un angle θ, l'aire vaut
- A = a × b × sin(θ)
Disque et ellipse
L'aire d'un disque de rayon r vaut
- A = π × r²
Cette formule se généralise à l'intérieur d'une ellipse dont a et b sont les demi-axes :
- A = π × a × b
Aire en dimension 3
Cube
L'aire du cube d'arête a vaut
- A = 6 × a²
il s'agit en effet de six carrés de côté a.
Parallélépipède
L'aire du parallélépipède rectangle de côtés a, b et c vaut
- A = 2 × (ab + bc + ca) ;
en effet, ses faces sont des rectangles. Si le parallélépipède n'est pas rectangle, les faces sont des parallélogrammes, on tempère donc chaque produit par un sinus (cf. supra : parallélogramme).
Sphère
L'aire d'une sphère de rayon r vaut
- A = 4 × π × r²
Calotte ou zone sphérique
L'aire d'une calotte ou d'une zone sphérique de hauteur h située sur une sphère de rayon r vaut
- A = 2 × π × r × h
Ceci se montre en assimilant des bandes de hauteur infinitésimal dh à des bandes planes, et en intégrant sur dh.