Algèbre

L'algèbre est la branche des mathématiques qui étudie les structures algébriques, indépendamment de la notion de limite (rattachée à l'analyse) et de la notion de représentation graphique (rattachée à la géométrie).

Elle doit son nom au titre d'un ouvrage du mathématicien Al-Khawarizmi où il reprend dans la première partie du IXe siècle les travaux de Diophante d'Alexandrie (IVe siècle) qui, le premier avait imaginé de représenter une inconnue par un symbole nommé arithme. Le titre de cet ouvrage (Al-jabr wa'lmuqabalah) a donné le mot moderne Algèbre (du mot arabe al-jabr, voulant dire « la réunion », « la reconstruction » ou « la connexion »).

Jusqu'au XVIIe siècle, l'algèbre peut être grobalement caractérisée comme une généralisation et une extension de l'arithmétique ; elle consiste principalement en l'étude de la résolution des équations algébriques, et la codification progressive des opérations symboliques permettant cette résolution.

Les Babyloniens savaient déjà résoudre l'équation du 2e degré (ou équation quadratique). Diophante, au IVe siècle, développe la méthode de résolution en nombres rationnels et découvre que le discriminant doit être le carré d'un nombre rationnel.

Après une longue période de stagnation en Europe, au cours de laquelle les mathématiciens arabes découvrent la numération de position et jettent les premières bases du calcul algébrique, les mathématiciens italiens du XVIe siècle (del Ferro, Tartaglia et Cardan) résolvent l'équation du 3e degré (ou équation cubique). Ferrari, élève de Cardan, résout l'équation du 4e degré, et la méthode est perfectionnée par Bombelli. À la fin du siècle, le français Viète découvre que les fonctions symétriques des racines sont liées aux coefficients de l'équation polynomiale.

Au XVIIe siècle, les mathématiciens utilisent progressivement des nombres « fictifs », tels que la racine carrée de -1, pour parvenir à calculer les racines non réelles de leurs équations. Cette « extension » des nombres réels (qui prendra le nom de nombres complexes) amène d'Alembert (en 1746) et Gauss (en 1799) à énoncer et démontrer le théorème fondamental de l'algèbre (ou théorème de d'Alembert-Gauss) : toute équation polynomiale de degré n en nombres complexes a exactement n racines (comptées chacune avec sa multiplicité). Ou, sous sa forme moderne : le corps \mathbb C des nombres complexes est algébriquement clos.

Le XIXe siècle s'intéresse désormais à la calculabilité des racines, et en particulier à la possibilité de les exprimer par des formules générales à base de radicaux. Les échecs concernant les équations de degré 5 amènent le mathématicien Abel (après Vandermonde, Lagrange et Gauss) à approfondir les transformations sur l'ensemble des racines d'une équation. Évariste Galois (1811 - 1832), dans un mémoire fulgurant, introduit pour la première fois la notion de groupe (en étudiant le groupe des permutations des racines d'une équation polynomiale) et aboutit à l'impossibilité de la résolution par radicaux pour les équations de degré supérieur ou égal à 5.

Dès lors, l'algèbre moderne entame un parcours fécond : Boole crée l'algèbre qui porte son nom, Hamilton invente les quaternions, et les mathématiciens anglais Cayley, Hamilton et Sylvester étudient les structures de matrices. L'algèbre linéaire, longtemps restreinte à la résolution de systèmes d'équations linéaires à 2 ou 3 inconnues prend son essor avec le théorème de Cayley-Hamilton (« Toute matrice carrée à coefficients dans \mathbb R ou \mathbb Cvérifie son polynôme caractéristique »). S'ensuivent les transformations par changement de base, la diagonalisation et la trigonalisation des matrices, et les méthodes de calcul qui nourriront, au XXe siècle, la programmation des ordinateurs. Parallèlement, Kummer généralise les structures galoisiennes et étudie les structures de corps et d'anneau. Dedekind définit les idéaux (déjà entrevus par Gauss) qui permettront de généraliser et reformuler les grands théorèmes d'arithmétique. L'algèbre linéaire se généralise en algèbre multilinéaire et algèbre tensorielle.

Au début du XXe siècle, sous l'impulsion de l'allemand Hilbert et du français Poincaré, les mathématiciens s'interrogent sur les fondements des mathématiques : logique et axiomatisation occupent le devant de la scène. Peano axiomatise l'arithmétique, puis les espaces vectoriels. La structure d'espace vectoriel et la structure d'algèbre sont approfondies par Artin en 1925, avec des corps de base autres que \mathbb R ou \mathbb C et des opérateurs toujours plus abstraits. On doit aussi à Artin, considéré comme le père de l'algèbre contemporaine, des résultats fondamentaux sur les corps de nombres algébriques. Les corps non commutatifs amènent à définir la structure de module sur un anneau et la généralisation des résultats classiques sur les espaces vectoriels.

L'école française « Nicolas Bourbaki », emmenée par Weil, Cartan et Dieudonné, entreprend de réécrire l'ensemble des connaissances mathématiques sur une base axiomatique : ce travail gigantesque commence par la théorie des ensembles et l'algèbre dans le milieu du siècle, et confirme l'algèbre comme langage universel des mathématiques. Paradoxalement, alors que le nombre de publications suit une croissance exponentielle à travers le monde, alors qu'aucun mathématicien ne peut prétendre dominer qu'une toute petite partie des connaissances, les mathématiques n'ont jamais autant paru unifiées qu'aujourd'hui.

Voir aussi

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Liens externes

See also: Algèbre, Al-Khawarizmi, Alexandre-Théophile Vandermonde, Algèbre de Boole (logique), Algèbre de Clifford, Algèbre de Lie