Angle

L'angle est une notion de géométrie qui permet de représenter la divergence entre deux directions. Cela peut être les directions des faces d'un objet (coin), la direction visée par rapport au nord (angle donné par une boussole)...

Sommaire

1 Angles dans le plan

1.1 Secteur angulaire et angle
1.2 Valeur d'un angle
1.3 Angles orientés
1.4 Angles particuliers

2 Angles dans l'espace

3 Définition abstraite

4 Mesure des angles

5 Usage des angles

6 Voir aussi

Angles dans le plan

Secteur angulaire et angle

Lorsque deux droites se coupent, elles partagent le plan en quatre portions : ce sont les secteurs angulaires. Si les droites sont confondues, elles ne définissent que deux secteurs angulaires. Un secteur angulaire est l'intersection des deux demi-plans délimités par des droites sécantes ou confondues.

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secteurs angulaires : intersection des demi-plans délimités par des droites sécantes ou confondues

Secteurs angulaires : intersection des demi-plans délimités par des droites sécantes ou confondues

L'angle d'un secteur angulaire est le nombre réel qui mesure la proportion du secteur angulaire par rapport au plan total. C'est l'ouverture du secteur angulaire, c'est-à-dire la « vitesse » à laquelle s'éloignent les droites l'une de l'autre lorsque l'on s'éloigne du point d'intersection ; c'est l'inclinaison d'une droite par rapport à l'autre. Les angles sont en général notés par une lettre grecque minuscule, par exemple α, β, θ, ρ... Lorsque l'angle est au sommet un polygone et qu'il n'y a pas d'ambiguïté (notamment que lorsque les angles ne sont pas orientés), on utilise alors le nom du sommet surmonté d'un chapeau, par exemple Â.

Note : On confond fréquemment les termes « angle » et « secteur angulaire ».

Valeur d'un angle

Pour évaluer cet angle, cette « proportion de surface », on prend un disque centré au point d'intersection, et on fait le rapport entre l'aire du disque comprise dans le secteur angulaire et l'aire totale du disque. On peut en fait montrer que cela revient à faire le rapport entre la longueur de l'arc délimité par les droites et la circonférence du cercle ; cette valeur est appelée nombre de tour.

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définition des angles par la proportion d'une portion de disque centré sur l'intersection des droites

Définition des angles par la proportion d'une portion de disque centré sur l'intersection des droites

L'unité internationale de mesure des angles est le radian, défini comme le rapport entre la circonférence du cercle délimité et le rayon du cercle.

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définition du radian, unité de mesure de l'angle

Définition du radian, unité de mesure de l'angle

On utilise fréquemment le degré car les nombres utilisés se manipulent plus facilement (et plus rarement les grades). La seconde d'arc est un sous-multiple du degré, égale à 1/60 de degré. De même, la seconde d'arc est égale à 1/60 de la minute d'arc, soit 1/360 de degré.

Dans le cas de trois points A, B et C non confondus, l'angle défini par les demi-droites [AB) et [AC) est noté $\widehat{BAC}$ . Dans le cas de deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ , l'angle défini par ces vecteurs est noté $(\widehat{\vec{u},\vec{v}})$ .

Angles orientés

Si le plan est orienté, alors les angles peuvent être positifs ou négatifs selon le sens dans lequel ils « tournent ». Par convention, on oriente le plan dans le sens dit « trigonométrique », c'est-à-dire dans le sens inverse des aiguilles d'une montre (ou « sens anti-horaire »). Si l'on considère deux demi-droites ou vecteurs, alors l'ordre dans lequel on cite les demi-droites ou les vecteurs définit le sens de l'angle, donc son signe ; ainsi :

$\widehat{BAC} = - \widehat{CAB}$

$(\widehat{\vec{u},\vec{v}}) = - (\widehat{\vec{v},\vec{u}})$

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angles orientés : l'orientation du plan permet de donner un signe à l'angle ; l'illustration souligne l'égalité en alpha et alpha-2π

Angles orientés : l'orientation du plan permet de donner un signe à l'angle ; l'illustration souligne l'égalité entre α et α-2π (voir ci-dessous

Les angles sont définis à un nombre entier de tours près. Ainsi, le plan complet peut être défini par un tour complet dans le sens positif, deux tours complets dans le sens positif, un tour complet dans le sens négatif... En radians, on dit que les angles sont définis à 2π près (« à deux pi près »). Par exemple, si l'angle α est droit de sens direct, il est noté :

$\alpha = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, k \in \mathbb{N}$

ou bien

$\alpha \equiv \frac{\pi}{2} [2\pi]$

Cette dernière notation se lit : « alpha est congru à pi sur deux modulo deux pi ».

On remarque notamment que pour deux demi-droites (ou deux vecteurs) données, le fait de choisir la « petite » ou la « grande » portion de plan importe peu, puisque α ≡ α - 2π (cf. illustration ci-dessus).

Angles particuliers

Si les droites divisent le plan en quatre secteurs égaux, elles sont dites « orthogonales » ou « perpendiculaires », l'angle (ou le secteur angulaire) est dit droit, il représente un quart de tour et vaut π/2 rad ou 90 °.

Si les droites sont confondues, l'angle (ou le secteur angulaire) est dit plat, il représente un demi-tour et vaut π rad ou 180 °.

Un tour complet (le secteur angulaire est le plan complet) vaut 2π rad ou 360 °

Les angles des secteurs angulaires opposés sont égaux. Les angles des secteurs angulaires adjacents sont dits supplémentaires si leur somme fait un angle plat. Si la réunion de deux secteurs angulaires adjacents forme un quart de plan, les angles sont dits complémentaires ; leur somme fait un angle droit.

*Valeur des angles particulier dans les diverses unités*
angle	nb de tour	radians	degré	grade
tour complet	1 tour	2π rad	360 °	400 gr
angle plat	1/2 tour	π rad	180 °	200 gr
angle droit	1/4 de tour	π/2 rad	90 °	100 gr

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définition des angles droit, plat, complémentaires et supplémentaires

Définition des angles droit, plat, complémentaires et supplémentaires

Remarque : deux angles complémentaires ou supplémentaires ne sont pas nécessairement adjacents : Par exemple, dans un triangle ABE rectangle en B, les angles Â et Ê sont complémentaires.

Un angle 'ordinaire' peut être aigu ou obtus (plus de 90º). Des angles peuvent être adjacents, opposés par le sommet.

Par extension, on définit également les angles entre des demi-droites, des segments de droite et des vecteurs, en prolongeant les droites portant ces objets jusqu'à leur intersection. La définition par des demi-droites ou des vecteurs permet de lever l'indétermination entre les angles supplémentaires, c'est-à-dire de définir sans ambiguïté quel secteur angulaire utiliser pour définir l'inclinaison des directions.

Angles dans l'espace

Deux droites sécantes sont nécessairement coplanaires, donc l'angle entre les droites est défini dans ce plan, de la même manière que ci-dessus. Pour orienter le plan, on choisit un vecteur normal au plan : le plan est alors orienté dans le sens trigonométrique lorsque le vecteur normal pointe vers l'observateur. Si l'on a défini une base $(\vec{i},\vec{j})$ dans ce plan, alors on choisit pour vecteur normal $\vec{i}\wedge\vec{j}$ .

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orientation d'un plan par un vecteur normal

Orientation d'un plan par un vecteur normal

Pour définir l'angle entre deux plans, on considère l'angle que font leurs vecteurs normaux.

Pour définir l'angle entre un plan et une droite, on considère l'angle α entre la droite et sa projection orthogonale sur le plan, ou encore l'angle complémentaire entre la droite et la normale au plan : on retranche l'angle β entre la droite et la normale au plan de l'angle droit (α = π/2 - β en radians).

On définit également les angles solides : on prend un point (parfois appelé « point d'observation ») et une surface dans l'espace (la « surface observée »), l'angle solide est la proportion de l'espace délimitée par la cône ayant pour sommet le point considéré et s'appuyant sur le contour de la surface. L'unité est le stéradian (sr en abrégé), l'espace complet fait 4π sr.

Définition abstraite

Les angles sont définis à partir de classes d'équivalence de la manière suivante :
Dans le plan euclidien usuel (normé), on définit les isométries, transformations du plan conservant la norme des vecteurs. Les isométries ont un déterminant égal à 1 ou à -1.

Les isométries de déterminant 1 (dites « positives ») transforment un vecteur unité (de norme 1) en un autre vecteur unité. Pour un couple de vecteurs unités $(\vec{u}, \vec{v})$ donné, il existe une isométrie positive f transformant $\vec{u}$ en $\vec{v}$ , on a

$\vec{v} = f(\vec{u})$ .

Soit une autre isométrie positive g et $\vec{u'}$ et $\vec{v'}$ deux autres vecteurs tels que

$\vec{u'}=g(\vec{u})$ et $\vec{v'} = g(\vec{v})$ .

Nous pouvons démontrer que

$\vec{v'} = f(\vec{u'})$

et que l'ensemble des couples de vecteurs unités $(\vec{u''}, \vec{v''})$ vérifiant

$\vec{v''} = f(\vec{u''})$

est une classe d'équivalence sur f, chaque isométrie f détermine une classe d'équivalence.

Nous appelons angle θ la classe d'équivalence de ce couple, l'isométrie associée est la rotation d'angle θ.

Définition à revoir, à compléter et à illustrer

Mesure des angles

Les angles peuvent être calculés à partir des longueurs des côtés de polygones, notamment de triangles, en utilisant la trigonométrie.

Dans certains cas, les angles sont exprimés par leur tangente. Par exemple, une pente est exprimée en pourcent, c'est le nombre de mètres que l'on monte (ou descend) lorsque l'on parcoure 100 m par rapport à l'horizontale ; si α est l'angle entre la droite deplus grande pente et l'horizontale, alors la pente en % est égale à 100×tan(α). En vol à voile (aéronautique), la finesse d'une voile est le nombre de mètres dont on descend lorsque l'on aprcoure 100 m horizontalement (en absence de vent) ; il s'agit également de cent fois la tangente de la pente.

« Sur le terrain », les angles peuvent être mesurés avec un appareil appelé goniomètre ; il comporte en général une règle courbe graduée en degrés, appelée rapporteur.

Usage des angles

En géodésie (géographie)
- azimuth : angle par rapport à l'axe Nord-Sud sur un plan contenant cet axe et le point visé, compté par rapport au Nord ;
- latitude ; angle que fait la verticale en un point par rapport au plan de l'équateur ; les points ayant la même latitude forment un cercle¹ appelé « parallèle »
- longitude ; angle permettant de se repérer sur Terre : angle que fait le plan contenant l'axe Nord-Sud et le point considéré (appelé « plan méridien ») avec un plan de référence contenant aussi l'axe Nord-Sud ; l'intersection d'un plan méridien avec la surface de la Terre est un cercle ¹ appelé méridien ; le méridien de référence est le méridien de Grenwich ;
En astronomie
- azimuth : lorsque l'on vise un point depuis le centre de la Terre, angle par rapport à l'axe Nord-Sud sur un plan contenant cet axe et le point visé, compté par rapport au Sud ;
- distance zénithale : angle entre l'horizontale et le point visé ;
- paralaxe

Par ailleurs, la notion d'angle permet de définir une unité de longueur, le parsec

En optique géométrique
- angle d'incidence : angle entre un vecteur et le vecteur de la surface, par exemple en réflexion et en réfraction, angle entre un rayon lumineux et la surface d'un dioptre ;
- paralaxe
En aérodynamique :
- angle d'attaque
- assiette
En balistique
- hausse

Notes

on suppose ici que la Terre est sphérique, ce qui n'est pas tout à fait vrai : sa forme générale est légèrement aplatie aux deux pôles, et sa surface présente des aspérités (fosses océaniques, montagnes) ;