Axiome de la paire
Dans la théorie axiomatique des ensembles et les branches de la logique, des mathématiques , et de l'informatique, l'axiome de la paire est l'un des axiomes de la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel.
Dans le langage formel de l'axiomatique de Zermelo-Frankel, l'axiome s'écrit:
en d'autres termes:
- étant donné A et B deux ensembles, il existe un ensemble C tel que, pour tout ensemble D, D est un élément de C si et seulement si D est égal à A ou à B.
L'axiome exprime que, pour deux ensembles quelconques A et B, nous pouvons trouver un ensemble C dont les éléments sont précisément A et B. Nous pouvons employer l'axiome d'extensionnalité pour démontrer que cet ensemble C est unique. Nous appelons l'ensemble C la paire de A et B , et la notons {A, B}.
Essentiellement, l'axiome affirme que:
- deux ensembles quelconques forment une paire.
{A, A} est abrégé en {A}, et est appelé singleton contenant A. Notez qu'un singleton est un cas particulier de paire.
L'axiome de la paire est généralement considéré comme indiscutable, et lui ou l'un de ses équivalents apparaît dans presque toute axiomatique alternative de la théorie des ensembles.
Généralisation
En utilisant l'axiome de l'ensemble vide, l'axiome de la paire peut être généralisé en la proposition suivante:
qui signifie que:
- étant donné un nombre fini d'ensembles A1, ..., An il existe un ensemble C dont les éléments sont précisément A1, ..., An.
Cet ensemble C est encore unique d'après l'axiome d'extension, et est noté {A1, ..., An}.
Naturellement, nous ne pouvons pas rigoureusement nous référer à un nombre fini d'ensembles, sans déjà disposer d'un ensemble (fini) auquel ces ensembles appartiennent. Ainsi, cette proposition s'apparente plutôt à un schéma, formé de plusieurs propositions, chacune d'entre elles étant associée à un entier naturel n. Le cas n = 0 est simplement l'axiome de l'ensemble vide. Le cas n = 1 est l'axiome de la paire avec A=A1 et B = A1. Le cas n = 2 est l'axiome de la paire avec A=A1 et B = A2. Les cas n > 2 peuvent être démontrés en utilisant l'axiome de la paire et l'axiome de la réunion appliqués de multiples fois. Par exemple, pour démontrer le cas n = 3, nous utilisons l'axiome de la paire trois fois, pour produire successivement la paire {A1 , A2 }, le singleton {A3 }, puis la paire { { A1 , A2 }, { A3 } }. L'axiome de la réunion fournit alors le résultat désiré, { A1 , A2 , A3 }.
Ainsi, nous pouvons utiliser cette généralisation comme un schéma axiomatique à la place des axiomes de l'ensemble vide et de la paire. Cependant, nous utilisons en règle générale les axiomes de l'ensemble vide et de la paire séparément, et cette proposition est alors démontrée et considérée comme un théorème. Notez qu'adopter cette proposition comme schéma d'axiome, ne remplace pas l'axiome de la réunion, qui est toujours nécessaire dans d'autres situations.