Base de Hilbert
Une base de Hilbert ou encore base hilbertienne est une généralisation aux espaces de Hilbert de la notion classique de base en algèbre linéaire, en dimension finie.
Comme dans le cas des bases habituelles, il s'agit de pouvoir décomposer n'importe quel vecteur de l'espace en somme de vecteurs colinéaires à ceux de la famille choisie. Cependant dans le cas d'une base de Hilbert, on ne peut pas (généralement) écrire une égalité entre le vecteur décomposé et une combinaison linéaire finie des vecteurs de la base : on doit généralement se contenter d'une série dont les termes sont des vecteurs de la base, et convergeant vers le vecteur à décomposer (la notion de convergence d'une série a ici un sens car on est dans un espace de Banach).
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Définition
Soit H un espace de Hilbert de dimension infinie, et 
une famille de vecteurs de H. On dit que F est une base de Hilbert de H si :
- F est une famille orthonormale de H, c'est-à-dire si :
-
;
-
-
(dans ce cas la famille est nécessairement libre)
-
.
Dans ce cas, la famille 
est unique pour chaque vecteur x ; ce sont ses coordonnées dans la base de Hilbert F.
Propriétés
- Théorème 1. Une famille orthonormale de H est une base de Hilbert si et seulement si le sous-espace vectoriel qu'elle engendre est dense dans H.
Ainsi une base de Hilbert de H n'est pas une base de H, mais une base orthonormale d'un sous-espace D, qui est dense dans H et qui permet donc d'approcher tous les éléments de H.
- Théorème 2 (relation de Parseval). Une famille orthonormale de H est une base de Hilbert si et seulement si :
C'est une généralisation du théorème de Pythagore, bien connue dans le cadre des séries de Fourier.
- Théorème 3. Tout espace de Hilbert admet une base de Hilbert.
La démonstration de ce dernier théorème nécessite l'axiome du choix.
Exemples
L'exemple classique de base de Hilbert (et même l'origine du concept) est l'ensemble des fonctions trigonométriques cos(nx) et sin(nx), pour l'espace de Hilbert L2([0,2π]) (voir les espaces Lp).