Bouteille de Klein
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En mathématiques, la bouteille de Klein est une surface fermée, sans bord et non-orientable, c'est-à-dire une surface pour laquelle on ne peut pas définir un « intérieur » et un « extérieur ». La bouteille de Klein a été décrite pour la première fois en 1882 par le mathématicien allemand Felix Klein. Elle est étroitement liée au ruban de Möbius et à des plongements du plan projectif réel tels que la surface de Boy.
Construction
La bouteille de Klein n'est pas réalisable dans 
, car il faut alors qu'elle se traverse elle-même ; aussi, aucune réalisation que l'on peut voir de la bouteille de Klein n'est exacte. Dans 
, il est par contre possible de la réaliser sans auto-intersection.
Visualisation
Il est possible de comprendre la structure de la bouteille de Klein à partir de la représentation fournie dans cet article, et au prix d'un effort mental moins important que ce que l'on pourrait croire.
Imaginons un individu vivant dans un monde plat, à 2 dimensions. On essaye alors d'expliquer à l'individu ce qu'est un nœud. Pour cela, on lui dessine un nœud sur le plan : il ne voit qu'une courbe qui s'auto-intersecte. On lui explique alors que ce ne sont pas des points d'intersections qu'il voit, mais que la courbe passe « dessus » et « dessous ». Notre individu est interloqué : vivant dans un monde plat, il ne comprend pas ce qu'est le dessus ni ce qu'est le dessous. Il lui manque une dimension (le haut et le bas) pour pouvoir visualiser le nœud.
Nous rencontrons le même problème lorsque nous essayons de visualiser la bouteille de Klein, puisque nous voyons une surface qui s'auto-intersecte. Néanmoins, si nous raisonnons avec une quatrième dimension, il suffit d'imaginer qu'à cet endroit, la bouteille passe « dessus » et « dessous » au sens de cette quatrième dimension, et donc ne s'auto-intersecte pas.
On peut en quelque sorte considérer que la bouteille de Klein est une surface qui fait un « nœud ». En tant que surface (objet à 2 dimensions), il lui faut 4 dimensions pour faire un nœud, de même que pour une courbe (objet à une dimension) il faut 3 dimensions pour faire un nœud.
Propriétés
- La bouteille de Klein est la somme connexe de deux espaces projectifs réels.
- En la coupant en deux par rapport à un plan de symétrie, on obtient deux rubans de Möbius.
- Sa caractéristique d'Euler-Poincaré est nulle
- Son nombre de Betti est 3.
- Son nombre chromatique est 6.