Champ tensoriel
En mathématiques, en physique et en ingénierie, un champ tensoriel est un concept très général de quantité géométrique variable. Il est utilisé en géométrie différentielle et dans la théorie des variétés, en géométrie algébrique, en relativité générale, dans l'analyse du stress et de la tension dans les matériaux, et en de nombreuses applications dans les sciences physiques et dans le génie. C'est une généralisation de l'idée du champ vectoriel, qui peut être conçu comme 'un vecteur qui varie de point en point'.
Il devrait être noté que plusieurs structures mathématiques appelées familièrement 'tenseurs' sont en fait des 'champs tensoriels', des champs définis sur une variété qui définissent un tenseur à chaque point de la variété. Voir l'article tenseur pour une introduction élémentaire aux tenseurs.
L'intuition géométrique pour un champ vectoriel est d'une 'flèche' attachée à chaque point de la région, à longueur et direction variables. Notre idée d'un champ vectoriel en un espace courbé est appuyée par l'exemple d'une carte météorologique montrant la vélocité horizontale du vent, à chaque point de la surface de la Terre.
L'idée générale du champ tensoriel combine l'exigence de géométrie plus riche - par exemple une ellipse variant de point en point - avec l'idée que nous ne voulons pas que notre notion dépende de la méthode particulière de tracer une surface. Elle devrait exister indépendamment de la latitude et de la longitude, ou n'importe quelle 'projection cartographique' que nous utilisons pour introduire les coordonnées numériques.
L'explication des faisceaux vectoriels
L'expression mathématique contemporaine de l'idée du champ tensoriel la décompose en un concept à deux étapes.
Il y a l'idée du faisceau vectoriel, qui est l'idée naturelle de 'l'espace vectoriel dépendant de paramètres' - les vecteurs étant en une variété. Par exemple un 'espace vectoriel d'une dimension dépendant d'un angle' pourrait ressembler à un ruban de Möbius ainsi qu'à un cylindre. Étant donné le faisceau vectoriel V sur M, le concept de champ correspondant s'appelle section du faisceau : pour m variant sur M, un choix du vecteur vm enVm, l'espace vectoriel 'à' m.
Puisque le concept du produit tensoriel est indépendent de quelque choix de base, prendre le produit tensoriel de deux faisceaux vectoriels sur M est courant. En commençant avec le faisceau tangentiel (le faisceau des espaces tangentiels), tout le processus expliqué au traitement des tenseurs libre de composés se porte à la routine - encore indépendamment de coordonnées, tel mentionné dans l'introduction.
En fin, on peut donner la définition du champ tensoriel, nommément comme la section d'un faisceau tensoriel. Cela est alors garanti de contenu géométrique, puisque toute chose a été faite d'une manière intrinsèque.
Voir aussi faisceau de jet
Calcul tensoriel
En physique théorique, des équations différentielles, posées en termes de champs tensoriels sont une manière très générale pour exprimer les relations à la fois géométriques par nature et liées au calcul différentiel. Pour formuler de telles équations, il faut connaitre la dérivée covariante. Cela permet d'exprimer la variation d'un champ tensoriel le long d'un champ vectoriel.
La notion d'origine du calcul différentiel absolu, plus tard renommé calcul tensoriel, amena à l'isolation du concept géométrique de connection.