Charles Gustave Jacob Jacobi
Charles Gustave Jacob Jacobi (10 décembre 1804 à Potsdam - 18 février 1851 à Berlin), était un mathématicien allemand.
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Il fit sa thèse sur une discussion analytique de la théorie des fractions. En 1829, il devint professeur de mathématique à Königsberg jusqu'en 1842. Il fit une dépression, partit pour un voyage en Italie et revint prendre sa retraite à Berlin.
Il écrivit le traité classique sur les fonctions elliptiques, importantes en physique mathématique, à cause du besoin des équations intégrés du second ordre pour l'énergie cinétique. Les équations cinétiques dans leur forme rotationnelle sont intégrables seulement dans les trois cas du pendule, de la toupie symétrique dans un champ gravitationnel, et du corps tournant librement, où les solutions s'expriment à l'aide des fonctions elliptiques.
Jacobi fut aussi le premier mathématicien à appliquer les fonctions elliptiques à la théorie des nombres, prouvant par exemple la théorie du nombre polygonal de Pierre de Fermat. La fonction théta de Jacobi, si fréquemment appliquée dans l'étude des séries hypergéométriques, porte son nom.
Ses recherches dans les fonctions elliptiques, théorie pour laquelle il établit de nouvelles bases, et plus particulièrement son développement de la fonction théta, apparaîssent dans ses grands traités Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum (Königsberg, 1829), et les messages ultérieurs dans le journal de Crelle constituent sa plus grande découverte analytique. Second en importance à cela sont ses recherches dans les équations différentielles, en particulier la théorie du dernier multipliant laquelle est soigneusement traitée dans son Vorlesungen über Dynamik, édité par R. F. A. Clebsch (Berlin, 1866).
Ce fut dans le développement analytique que le pouvoir particulier de Jacobi se trouve principalement, et il fit de nombreuses contributions importantes sur ce genre aux autres départements des mathématiques, comme le coup d'œil à la longue liste des communications qui furent publiées par lui dans le journal Crelle et ailleurs. Il fut l'un des fondateurs initiaux de la théorie des déterminants; en particulier il inventa le déterminant fonctionnel formé par les n2 coefficients différentiels des n fonctions données de n variables independantes, qui porte son nom (jacobienne), et dans laquelle il joua un rôle important des recherches analytiques.
Dans son papier de 1835 Jacobi prouva ceci:
- Si une fonction d'une seule valeur changeant dans un seul sens est périodique, alors le ratio des périodes ne peut être un nombre réel, et qu'une telle fonction ne peut être de plus de deux périodes.
Jacobi réduisit l'équation quintique générale à la forme,
- x5 − 10q2x = p.
De valeur sont aussi ses présentations sur les transcendant abélien, et ses recherches dans la théorie des nombres, dans lequelles il a surtout complété les travaux de Gauss.
La théorie planétaire et d'autres problèmes dynamiques particuliers occupèrent son attention de temps en temps. Pendant qu'il contribuait à la mécanique céleste, il introduit la jacobienne pour un système de coordonnées sidérales.
Il laissa une grande quantité de manuscrits, dont une partie a été publiée irrégulièrement dans le journal de Crelle. Ses autres travaux comprennent Comnienlatio de transformatione integralis duplicis indefiniti in formam simpliciorem (1832), Canon arithmeticus (1839), et Opuscula mathematica (1846—1857). Ses oeuvres complètes (Gesammelte Werke) (1881–1891) furent publiées par l'académie de Berlin. Sa réalisation la plus connue est probablement la théorie de Hamilton-Jacobi de la mécanique newtonienne.
L'identité de Jacobi apparaît dans l'étude des algèbres de Lie. Et ceux des équation différentielles utilisent souvent le déterminant jacobien.
Références
Men of Mathematics, Eric Temple Bell, Simon and Schuster, New York, 1986.
New Foundations of Classical Mechanics, David Hestenes, Kluwer Adademic Publishers, Dordrecht, 1986.