Comatrice
En algèbre linéaire, la comatrice d'une matrice carrée est une matrice qui joue un rôle similaire à l'inverse d'une matrice ; elle peut être définie pour toute matrice carrée sans effectuer de division. Elle est aussi appelée matrice des cofacteurs, ou encore, hélas, matrice adjointe (par exemple dans le logiciel Maple).
Supposons que A soit un anneau commutatif et que M soit une matrice de type (n, n) à coefficients dans A. La comatrice de M=(mij), notée com(M), est la matrice (m'ij) de type (n, n) définie par
- m'ij = (-1)i+j det(Mij)
où Mij désigne la matrice de type (n-1, n-1) obtenue à partir de M en supprimant la ligne i et la colonne j, et det(Mij) est son déterminant , appelé aussi mineur (le déterminant de la matrice de type (0, 0) étant égal à 1 par convention).
Comme conséquence de la formule de Laplace pour le calcul des déterminants, nous avons
- M · tcom(M) = tcom(M) · M = det(M) In
où tcom(M) désigne la transposée de la comatrice de M et In la matrice unité d'ordre n. Cette formule est utilisée pour démontrer que M est inversible en tant que matrice à coefficients dans A si et seulement si det(M) est inversible comme élément de A.
Nous avons
- com(In) = In
et
- pour toutes matrices d'ordre n M et N, com(MN) = com(N) com(M)
La comatrice est aussi compatible avec la transposition:
- com(tM) = t (com(M)).
de plus,
- det(com(M)) = det(M)n-1.
Si p(t) = det(M - tIn) est le polynôme caractéristique de M et que q est le polynôme défini par q(t) = (p(0) - p(t))/t, alors
- tcom(M) = q(M).
La comatrice apparaît dans la formule de la dérivée d'un déterminant.