Conjecture de Catalan
La conjecture de Catalan est une simple conjecture dans la théorie des nombres qui fut proposée par le mathématicien Eugène Charles Catalan.
Pour comprendre la conjecture, regardons ce qui suit 23 = 8 et 32 = 9 sont deux puissances successives d'entiers naturels. La conjecture de Catalan énonce que c'est le seul cas de deux puissances successives.
Cela dit, la conjecture de Catalan énonce que la seule solution en nombres naturels de
- xa − yb = 1
pour x, a, y, b > 1 est x = 3, a = 2, y = 2, b = 3.
En particulier, notons qu'il n'est pas important que les mêmes nombres 2 et 3 soient répétés dans l'équation 32 − 23 = 1. Même dans le cas où les nombres ne sont pas répétés serait un contre-exemple de la conjecture de Catalan.
La conjecture de Catalan fut prouvée par Preda Mihăilescu en avril 2002, elle est maintenant un théorème. La preuve fut vérifiée par Yuri Bilu et fait l'objet d'un usage important de la théorie des corps cyclotomiques et des modules de Galois.
La conjecture de Pillai concerne une différence générale de puissances parfaites. Elle énonce que les différences dans la suite de tous les nombres parfaits tend vers l'infini, donc que chaque différence donnée apparaît de façon finie plusieurs fois. C'est un problème ouvert de 2004 et fut nommé en l'honneur de S. S. Pillai.
Liens externes
- Ivars Peterson's MathTrek
- Metsänkylä, Tauno (2003). La conjecture de Catalan : un autre vieux problème diophantien résolu (en anglais), Bull. (New Ser.) Amer. Math. Soc. 41 (1), 43–57.