Connexité simple
En topologie, la notion de simple connexité raffine celle de connexité : là où un espace connexe est simplement « d'un seul tenant », un espace simplement connexe est de plus sans « trou » ou « poignée ».
On formalise ceci en disant que tout lacet tracé dans un espace simplement connexe doit pouvoir être réduit continûment (c'est_à-dire par homotopie) à un point.
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Définition
Si 
est un espace topologique connexe par arcs, on dit qu'il est simplement connexe si et seulement tout lacet 
tracé sur est homotope à un point.
Intuitivement, on peut tirer sur le lacet pour le rétrécir jusqu'à ce qu'il ne forme plus qu'un point, il n'y a pas d'obstacle (c'est-à-dire de trou).
On parle aussi de parties simplement connexes ; une partie d'un espace topologique est dite simplement connexe si et seulement si, munie de la topologie induite, elle constitue un espace topologique simplement connexe.
Formulations équivalentes :
- On note
le cercle unité et 
le disque unité. Un espace topologique connexe par arcs est simplement connexe si et seulement si toute fonction continue 
peut être prolongée en une fonction continue 
.
- Autrement dit tout plongement d'un cercle dans peut être prolongé à un plongement du disque, intuitivement on peut « colorier » l'intérieur de toute boucle tracée dans .
- Autrement dit tout plongement d'un cercle dans
- Un espace topologique connexe par arcs est simplement connexe si et seulement si tout couple
![p, \, q : [0,1] \rightarrow X \,\!](/img/math/3d66f3a06ad3a5bd58baf0427b19fad6.png)
de chemins tracés sur sont homotopes.
- Un espace topologique connexe par arcs est simplement connexe si et seulement si son groupe fondamental est trivial, c'est-à-dire réduit à l'élément neutre.
Exemples
Sont simplement connexes :
- la droite réelle
et ses sous-intervalles ;
- le plan complexe
et plus généralement tout espace vectoriel normé ;
- le disque
;
- toute partie convexe ou étoilée d'un espace vectoriel normé ;
- la sphère
;
- une assiette, un verre, une fourchette.
Ne sont pas simplement connexes :
-
et plus généralement tout espace non-connexe ou non-connexe par arcs ;
- l'ensemble
des nombres complexes non-nuls ;
- le cercle
;
- le tore
(ou « donut ») ;
- le ruban de Möbius et la bouteille de Klein ;
- une tasse, une passoire, un fouet de cuisine.
Propriétés
(à completer)