Construction à la règle et au compas
Les constructions à la règle et au compas ont occupé les géomètres Grecs depuis les éléments d'Euclide. Elles ont conduit à l'élaboration de théorèmes comme le théorème de Gauss sur les polygones régulier constructibles et le théorème de Wantzel sur les nombres constructibles
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Construction d'un angle droit
- Tracer un segment [MN]
- Placer la pointe du compas sur le point N et tracer un cercle C
- Placer la pointe du compas sur le point M et tracer un cercle C' qui coupe C en I et en J
- Relier les intersections I et J des deux cercles
[MN] et [IJ] sont perpendiculaires
Construction d'un pentagone
Première méthode: Pentagone inscrit dans un cercle
Pentagoneconstruit.png
construction du pentagone
- Tracer un cercle Γ de centre O et de rayon R (unité quelconque)
- Tracer 2 diamètres perpendiculaires
- les jonctions à Γ formant les point A, B, C, D
- A étant diamétralement opposé à C
- B étant diamétralement opposé à D
- Tracer un cercle Γ ' de diamètre [OA] (rayon R' = R/2) et de centre I
- Γ ' passe donc en O et A
- Tracer une droite (d) passant par B et I
- (d) intercepte Γ ' en E et F (E est le plus proche de B)
- Tracer 2 (arc de) cercles Γ1 et Γ2 de centre B et de rayons (respectivement) BE et BF
- Γ1 et Γ2 interceptent Γ en 4 pts (D1, D2, D3, D4)
D, D1, D2, D3, D4 doit former un pentagone régulier
Deuxième méthode
Pentagone16.png
construction du pentagone
- On utilise un repère orthonormé (OIJ) (Constructible puisque l'on sait construire un angle droit et reporter une longueur!)
- On place le point A(-1/2,0) et on trace le cercle bleu de centre A passant par J. Ce cercle coupe l'axe des abscisses en deux points, soit B le point d'abscisse positive
- On trace le cercle vert de centre O passant par J
- Soit C le milieu de [OB]. La parallèle à l'axe des ordonnées passant par C coupe le cercle vert en un point D.
- Avec le compas on reporte successivement la longeur ID sur le cercle vert
- On obtient ainsi le pentagone rouge
Demonstration
Montrons que OC=cos(2pi/5)=
.
Le Théorème de Pythagore dans le triangle AOJ donne AJ2 = (1/2)2 + 12.
Or AB = AJ (rayons du cercle bleu) et OB = AB - AO. D'où OB = AJ -(1/2), soit OB =
, d'où le résultat puisque OC = 1/2 OB.
Construction d'un hexagone
Hexagoneconstruit.png
construction d'un hexagone
La construction d'un hexagone se fait simplement à l'aide de trois cercles de même rayon. Elle utilise la propriété du triangle équilatéral qui possède trois angles de 60° et le fait que les angles au centre d'un hexagone valent 60°.
Construction impossible
La construction d'un heptagone régulier à la règle et au compas est impossible puisque 7 n'est pas un nombre de Fermat (voir théorème de Gauss-Wantzel).