Dérivée

En mathématiques, la dérivée d'une fonction en un point est la mesure signée de la vitesse à laquelle cette fonction change lorsque sa variable change. Pour une fonction à plusieurs variables, on parle de la dérivée partielle par rapport à l'une de ses variables.

Sur le graphe de la fonction, cela correspond à sa pente en ce point.

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Courbe_simple.png
Image:Courbe simple.png

Dans l'exemple ci-contre:

en 0, la courbe descend, donc la dérivée y est négative (elle vaut -1)
en 1, la courbe descend toujours, mais la pente y est moindre (-0,5).
en 2, la courbe est parfaitement horizontale, donc la dérivée est nulle (0).
en 3, la courbe monte, donc la dérivée y est positive (0,5).

Sommaire

1 Définition formelle

2 Fonction dérivée

3 Dérivée des fonctions usuelles

3.1 Dérivée des fonctions puissances, log, exp
3.2 Dérivées des fonctions trigonométriques
3.3 Dérivées de l'inverse des fonctions trigonométriques

4 Dérivée d'ordre n

4.1 Formule de Leibniz
4.2 Notation de Leibniz

5 Dérivées des taux de variation liés

5.1 Les dérivées en physique, en chimie et en géométrie

6 Analyse d'une fonction dérivée

7 Dérivée et optimisation

8 Dérivées et asymptotes

9 Dérivées des fonctions exponentielles et logarithmiques

9.1 Voir aussi

Définition formelle

Soit $f$ une fonction réelle à valeurs réelles.

On appelle taux d'accroissement de $f$ en $x 0$ la quantité :

$t_{x_0}(h) = {f(x_0+h)-f(x_0) \over h}$

Si $t_{x_0}(h)$ a une limite lorsque $h$ tend vers 0, on dit que $f$ est dérivable en $x 0$ , et sa dérivée est égale à la limite de ce taux d'accroissement. On note alors :

$f'(x_0) = \lim_{h \to 0} t_{x_0}(h) = \lim_{h \to 0}{f(x_0+h)-f(x_0) \over h}$

Une fonction pour laquelle la dérivée existe en un point est dite dérivable en ce point.

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Tangente2.gif
Image:tangente2.gif

Ce calcul de limite revient graphiquement à rechercher la tangente à la courbe en ce point.

Ainsi, la dérivée d'une fonction en un point, si elle existe, est égale à la pente de la tangente au graphe de la fonction en ce point.

La dérivation peut aussi être définie sur des fonctions autres que réelles à valeurs réelles.

Par exemple, une fonction réelle $f$ à valeurs dans $\R^n$ , est dérivable en $x 0$ si et seulement si toutes ses coordonnées sont dérivables en $x 0$ ; et sa dérivée est la fonction dont les coordonnées sont les dérivées des coordonnées de $f$ .

Fonction dérivée

La dérivabilité est a priori une notion locale (dérivabilité en un point), mais si une fonction est dérivable sur tout un intervalle, on peut définir sa fonction dérivée sur l'intervalle en question. La fonction dérivée, notée $f'\,$ (prononcée « f prime ») ou $\frac{df}{dx}$ , prend en tout point la valeur de la dérivée de $f\,$ en ce point.

Une fonction égale à sa dérivée est dite exponentielle.

$f'(x)\,$ peut facilement se calculer à partir d'une expression de $f(x)\,$ en utilisant un petit nombre de règles algébriques déduites de la définition donnée plus haut. Les règles les plus couramment utilisées sont les suivantes :

Nom	Règle	Conditions
Linéarité	$(af+bg)^\prime = af' + bg'$	Quelles que soient les fonctions dérivables $f\,$ et $g\,$ et les réels a et b.
Puissance	$(f^\alpha)^\prime = \alpha f^{\alpha-1}f'$	Quel que soit $\alpha \in \mathbb Z$ , et même quel que soit $\alpha \in \mathbb R$ si f est positive
Produit	$(fg)^\prime = f'g+fg'$	Quelles que soient les fonctions dérivables $f\,$ et $g\,$
Quotient	$\left({f \over g}\right)' = {f'g-fg' \over g^2}$	Quelles que soient la fonction dérivable $f\,$ et la fonction dérivable $g\,$ non nulle
Racine	$\left(\sqrt f\right)' = {f' \over 2\sqrt f}$	Quelle que soit la fonction dérivable $f\,$ strictement positive
Composée	$(f \circ g)' = (f'\circ g) \cdot g'$	Quelles que soient les fonctions dérivables $f\,$ et $g\,$

Dérivée des fonctions usuelles

Dérivée des fonctions puissances, log, exp

Fonctions	Dérivées	Conditions
$a\,\!$	$0\,\!$
$a x\,\!$	$a\,\!$	$x\,\in\mathbb{R}$
$a x^n\,\!$	$anx^{n-1}\,\!$	$n\,\in \mathbb Z\quad x\,\in\mathbb{R}^*$
$e^f\,\!$	$f'e^f\,\!$	$f\,\!$ dérivable
$a^x\,\!$	$a^x \ln a\,\!$	$a\,\in\mathbb{R}_+^* \quad x\,\in\mathbb{R}$
$\ln \|x\|\,\!$	$1 \over x\,\!$	$x\,\in\mathbb{R}^*$

Dérivées des fonctions trigonométriques

Si $f(x) = \sin(x)\,$ alors $f'(x) = \cos(x)\,$

Démonstration :

$f'(x)= \lim_{x \to a}{ \sin(x) - \sin(a) \over x-a}$

$x=a+b\,$

$f'(x)= \lim_{b \to 0}{ \sin(a+b) - sin(a) \over (a+b)-a}$

$f'(x)= \lim_{b \to 0}{ \sin(a) \cdot \cos(b) + \sin(b) \cdot \cos(a) - \sin(a) \over b}$

$f'(x)= \lim_{b \to 0}sin(a){ \cos(b) - 1 \over b} + \cos(a) \cdot { \sin(b) \over b}$

$\lim_{b \to 0}{ \cos(b) -1 \over b} = 0$

$\lim_{b \to 0}{\sin(b) \over b} = 1$

$f'(x)= \cos(a)\,$

Si $f(x) = \cos (x)\,$ alors $f'(x) = -\sin (x)\,$

Démonstration :

$f(x)= -\sin(a)\,$

$f'(x) = \lim_{x \to a}{ \cos(x) - \cos(a) \over x-a}$

$x=a+b\,$

$f'(x) = \lim_{b \to 0}{ \cos(a+b) - \cos(a) \over (a+b)-a}$

$f'(x) = \lim_{b \to 0}{cos(a) \cdot \cos(b) - \sin(a) \cdot sin(b) -cos(a) \over b}$

$f'(x) = \lim_{b \to 0}\cos(a){ \cos(b) -1 \over b} - \sin(a) \cdot {sin(b) \over b}$

$\lim_{b \to 0}{\cos(b) - 1 \over b} = 0$

$\lim_{b \to 0}{\sin(b) \over b} = 1$

$f'(x)= -\sin(a)\,$

Si $f(x) = \tan(x)\,$ alors $f'(x) = \sec^2 (x)\,$

Démonstration :

Si $f(x) = \operatorname{cotan} (x)\,$ alors $f'(x) = -\operatorname{cosec}^2 (x)\,$

Démonstration :

Si $f(x) = \sec (x)\,$ alors $f'(x) = \sec (x) \cdot \tan (x)\,$

Démonstration :

Si $f(x) = \operatorname{cosec} (x)\,$ alors $f'(x) = -\operatorname{cosec} (x) \cdot \operatorname{cotan} (x)\,$

Démonstration :

Dérivées de l'inverse des fonctions trigonométriques

Si $f(x) = \operatorname{arcsin}(x)\,$ , alors $f'(x) = {1 \over \sqrt{1-x^2}}$
Si $f(x) = \operatorname{arcsin}(\varphi(x))\,$ , alors $f'(x) = {\phi'(x) \over{\sqrt{1-\phi (x)^2}}}$
Si $f(x) = \operatorname{arccos}(x)\,$ , alors $f'(x) = {-1 \over \sqrt{1-x^2}}$
Si $f(x) = \operatorname{arccos}(\varphi(x))\,$ , alors $f'(x) = {-\phi'(x) \over{\sqrt{1-\phi (x)^2}}}$
Si $f(x) = \operatorname{arctan}(x)\,$ , alors $f'(x) = {1 \over{1+x^2}}$
Si $f(x) = \operatorname{arctan}(\varphi(x))\,$ , alors $f'(x) = {\phi'(x) \over{1+\phi(x) ^2}}$

Dérivée d'ordre n

On définit la dérivée d'ordre $n$ pour une fonction $n$ fois dérivable par récurrence :

$\frac{d^{n+1}f}{dx^{n+1}}=\frac{d}{dx} \frac{d^n f}{dx^n}$

$\frac{d^n f}{dx^n}$ est également notée $f (n)$ .

Formule de Leibniz

Si $f, g$ sont des fonctions $n$ fois dérivables, alors :

$(fg)^{(n)}=\sum_{k=0}^{n} { n \choose k } f^{(k)}g^{(n-k)}$ .

En particulier pour $n = 2$ ,

$(fg)''=f''g+2f'g'+fg''\,\!$ .

On notera l'analogie avec la formule du binôme de Newton.

Notation de Leibniz

Dérivées des taux de variation liés

Les dérivées en physique, en chimie et en géométrie

Analyse d'une fonction dérivée

En trouvant les valeurs de x où la dérivée vaut 0 ou n'existe pas, on trouve les nombres critiques de la fonction. Les nombres critiques de f permettent de trouver implicitement ses maximums et ses minimums. À effectuer le test de la dérivée première, on construit un tableau de variation ; si le signe de la fonction dérivée passe du plus au moins devant un nombre critique, on a un maximum et si le signe de la fonction dérivée passe du moins au plus devant le nombre critique, on a un minimum. De plus, lorsque le signe de la dérivée première est positif, la fonction monte ; s'il est négatif, elle descend. On ne conclue rien si au point critique la fonction ne change pas de signe. En dérivant la dérivée première, on a la dérivée seconde. À effectuer le test de la dérivée seconde, on trouve les nombres critiques de la dérivée première pour les placer dans le même tableau ; lorsqu'on observe un changement de signe de la dérivée seconde devant ce ou ces nombres critiques, on dit qu'on a un (ou des) point(s) d'inflexion. Les points d'inflexion marquent un changement de la concavité de la fonction dérivée. Un signe positif de la dérivée seconde signifie que la fonction est concave vers le haut et un signe négatif de la dérivée seconde signifie que la fonction est concave vers le bas. Connaissant les changements de concavité et les extrema de la fonction, on peut alors tracer une esquisse du graphique.

Dérivée et optimisation

Méthode pour optimiser un rendement à l'aide du calcul différentiel:

1° Mathématisation

a) Définitions et dessin : on définit les variables inconnues et on les représente sur un schéma.

b) Écrire la fonction objectif à deux variables et préciser si on recherche un maximum ou un minimum dans la situation donnée.

c) Trouver la relation entre les deux variables.

d) Écrire la fonction objectif à une variable et préciser le domaine de la fonction.

2° Analyse

a) Dériver la fonction pour obtenir la dérivée première.

b) Trouver les nombres critiques de la fonction, où la dérivée première vaut zéro ou n'existe pas dans les intervalles du domaine.

c) Effectuer le test de la dérivée première ou le test de la dérivée seconde pour déterminer le maximum ou le minimum recherché de la situation.

3° On formule la réponse de façon concise par rapport à la question.

Dérivées et asymptotes

Voir Asymptote

Une fois qu'on a déterminé les asymptotes de la fonction, on peut les noter dans le tableau de variation pour tracer adéquatement l'esquisse du graphique.

Dérivée

Définition formelle

Fonction dérivée

Dérivée des fonctions usuelles

Dérivée des fonctions puissances, log, exp

Dérivées des fonctions trigonométriques

Dérivées de l'inverse des fonctions trigonométriques

Dérivée d'ordre n

Formule de Leibniz

Notation de Leibniz

Dérivées des taux de variation liés

Les dérivées en physique, en chimie et en géométrie

Analyse d'une fonction dérivée

Dérivée et optimisation

Dérivées et asymptotes

Dérivées des fonctions exponentielles et logarithmiques

Voir aussi

See also: Dérivée, Asymptote, Coordonnée, Dérivation itérée, Dérivée partielle, Exemples de calcul de dérivée, Exponentielle, Extremum, Fonction (mathématiques), Fonction exponentielle­

See also: Dérivée, Asymptote, Coordonnée, Dérivation itérée, Dérivée partielle, Exemples de calcul de dérivée, Exponentielle, Extremum, Fonction (mathématiques), Fonction exponentielle