Dérivée partielle

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En mathématiques la dérivée partielle d'une fonction est la dérivée par rapport à une de ses variables, les autres étant gardées constantes. Elles sont utiles dans l'analyse en dimension n, la géométrie différentielle, et l'analyse vectorielle.

On représente la dérivée partielle par rapport à la variable x par \frac{ \partial f }{ \partial x } ou \partial_xf ou encore par fx (où \partial est appelé d rond [à ne pas confondre avec le delta minuscule du Grec ancien], symbole de la dérivation partielle).

Si f est une fonction de x1, ..., xn et dx1, ..., dxn sont les accroissements infinitésimaux de x1, ..., xn respectivement, alors l'accroissement infinitesimal correspondant de f est :

df=\frac{\partial f}{\partial x_1}\,dx_1+\cdots+\frac{\partial f}{\partial x_n}\,dx_n.

Cette quantité est « différentielle totale » de f; chaque terme dans la somme étant une « différentielle partielle » de f.

Sommaire
1 Exemple

1 Notation
2 Définition formelle et propriétés
3 Voir aussi

Exemple

Considérons le volume d'un cône V ; il dépend de la hauteur h et du rayon de la base r suivant la formule

V = \frac{ r^2 h \pi }{3}

La dérivée partielle de V par rapport à r est

\frac{ \partial V}{\partial r} = \frac{ 2r h \pi }{3}

Elle décrit la façon dont le volume d'un cône varie si son rayon est changé en maintenant sa hauteur constante.

La dérivée partielle par rapport à h est

\frac{ \partial V}{\partial h} = \frac{ r^2 \pi }{3}

et représente la façon dont varie le volume si c'est la hauteur du cône qui est changée tout en maintenant le rayon constant.

L'on peut alors exprimer la façon dont varie le volume si à la fois le rayon et la hauteur du cône sont changés .

dV = \frac{ \partial V}{\partial r} dr+\frac{ \partial V}{\partial h}dh=\frac{ 2r h \pi }{3} dr+\frac{ r^2 h \pi }{3} dh = \left(\frac{ \partial V}{\partial r} \vec e_r+\frac{ \partial V}{\partial h}\vec e_z\right)\cdot\left(dr\vec e_r+ dh\vec e_z\right)
= \left(\frac{ 2r h \pi }{3} \vec e_r+\frac{ r^2 \pi }{3}\vec e_z\right)\cdot\left(dr\vec e_r+ dh\vec e_z\right)= \overrightarrow {grad V}\cdot \overrightarrow {d OM}


Les équations faisant intervenir des dérivées partielles sont appelées des équations aux dérivées partielles que l'on rencontre partout en sciences.

Notation

Soit f une fonction de x, y et z.

Les dérivées partielles premières sont :

\frac{ \partial f}{ \partial x} = f_x = \partial_x f

et celles du second ordre :

\frac{ \partial^2 f}{ \partial x^2} = f_{xx} = \partial_{xx} f

Celles du second ordre impliquant deux variables s'écrivent:

\frac{ \partial^2 f}{\partial x\,\partial y} = f_{xy} = f_{yx} = \partial_{xy} f = \partial_{yx} f

et à des ordres supérieurs :

\frac{ \partial^{i+j+k} f}{ \partial x^i\, \partial y^j\, \partial z^k } = f^{(i, j, k)}

Quand on a affaire à des fonctions de plusieurs variables, certaines peuvent être reliées les unes aux autres et il peut être nécessaire de spécifer celles qui sont maintenues constantes.

Dans des domaines comme la thermodynamique ou la mécanique statistique, la dérivée partielle de f par rapport à x, y et z étant maintenus constants, est souvent notée :

\left( \frac{\partial f}{\partial x} \right)_{y,z}

Définition formelle et propriétés

Tout comme pour les dérivées « ordinaires », les dérivées partielles sont définies à partir des limites. Soit U' un sous-ensemble ouvert de Rn et f : U -> R une fonction. Nous définissons la dérivée partielle de f au point a=(a1,...,an)∈U par rapport à la i-ème variable xi comme

\frac{ \partial f}{\partial x_i }(\mathbf{a}) = \lim_{h \rightarrow 0}{ f(a_1, \dots , a_{i-1}, a_i+h, a_{i+1}, \dots ,a_n) - f(a_1, \dots ,a_n) \over h }

Même si toutes les dérivées partielles \frac{ \partial f}{\partial x_i }(\mathbf{a}) existent à un point donné a, la fonction peut ne pas être continue. Toutefois, si toutes les dérivées partielles existent dans un voisinage de a et sont continues, alors f est totalement différentiable dans ce voisinage et la différentielle totale est continue. Dans ce cas, nous disons que f est une fonction de classe C1.

La dérivée partielle \frac{\partial f}{\partial x_i} peut être considérée comme une autre fonction définie sur U, et peut donc encore être dérivée. Si toutes les dérivées secondes de f dont continues, f est une fonction de classe C2. L'ordre de dérivation peut alors être changé sans modifier le résultat :

\frac{\partial^2f}{\partial x_i\, \partial x_j} = \frac{\partial^2f} {\partial x_j\, \partial x_i}

Le vecteur dont les composantes sont les dérivée partielles de f en un point a donné est appelé gradient de f au point a:

\operatorname{grad}f(a) = \left( \frac{\partial f}{\partial x_1}(a), \dots , \frac{\partial f}{\partial x_n}(a) \right)

Si f est une fonction de classe C1, alors le gradient de f a une interprétation géométrique : c'est la direction selon laquelle f varie le plus vite, la ligne de plus grande pente.

Voir aussi

See also: Dérivée partielle, Analyse vectorielle, Asymptote, Cône, Différentielle, Dérivée, Fonction continue, Fonction mathématique