Déterminant (mathématiques)

Le déterminant d’une matrice A=(a_ij) d’ordre n, défini par Gottfried Leibniz est le nombre noté det(A) égal à :

$\det(A)=\sum_{\sigma \in S_n} \epsilon(\sigma) \prod_{i=1}^n a_{i, \sigma(i)}$ (formule de Leibniz)

où S_n est l’ensemble des permutations de {1, 2, …, n} et pour une permutation σ de S_n, ε(σ) désigne sa signature ; égale à 1 si la permutation est paire et -1 si la permutation est impaire.
On note aussi $\det \begin{bmatrix} m_{1;1} & \cdots & m_{1;n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ m_{n;1} & \cdots & m_{n;n} \end{bmatrix} = \begin{vmatrix} m_{1;1} & \cdots & m_{1;n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ m_{n;1} & \cdots & m_{n;n} \end{vmatrix}$

Sommaire

1 Calcul

1.1 Cas général
1.2 Cas particuliers

2 Propriétés

Calcul

Cas général

On peut calculer le déterminant d'une matrice M d'ordre n de la manière suivante par récurrence. On appelle M(i;j) la sous-matrice déduite de M en en ayant enlevé la ligne i et la colonne j et m(i;j) le nombre de la i^ème ligne et de la j^ème colonne.

Si n=1 et M=[m] det(M)=m,
Si n>1 et M est une matrice carrée de rang n alors
$\det{M}=\sum_{i=1}^{i=n}{(-1)^{i+j}\times m(i;j) \times \det{M(i;j)}}$ (développement par rapport à la colonne j)
ou $\det{M}=\sum_{j=1}^{j=n}{(-1)^{i+j}\times m(i;j) \times \det{M(i;j)}}$ (développement par rapport à la ligne i)

Cependant, cette méthode n'est intéressante que si plusieurs des coefficients m(i,j) sont nuls. Dans le cas contraire, le temps de calcul d'un déterminant n × n croîtrait comme la factorielle de n. Il vaut mieux alors utiliser le caractère multi-alterné du déterminant (voir plus bas Propriétés), pour transformer le déterminant en un déterminant triangulaire dont le calcul est aisé. Le temps de calcul croît alors seulement comme n³.

Cas particuliers

$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad-bc$
$\begin{vmatrix} m_{1;1} & m_{1;2} & \cdots & m_{1;n-1} & m_{1;n} \\ 0 & m_{2;2} & \cdots & \cdots & m_{2;n} \\ \vdots & 0 & \ddots & \cdots & \vdots \\ \vdots & \cdots & \ddots & m_{n-1;n-1} & m_{n-1;n} \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & m_{n;n} \end{vmatrix} = \prod_{i=1}^{i=n}{m_{i;i}}$
Méthode de Sarrus
La méthode de Sarrus est un procédé visuel, qui facilite le calcul des déterminants d’ordre 3.
Cette méthode consiste à écrire les trois colonnes de la matrice et à répéter dans l’ordre, les deux premières lignes en dessous de la matrice. Les produits correspondants aux permutations paires s’obtiennent en parcourant à partir des trois premiers coefficients de la première colonne les diagonales descendantes ; et les produits des permutations impaires s’obtiennent en parcourant à partir des trois derniers coefficients de la première colonne les diagonales ascendantes.
Il suffit alors d’effectuer les produits des coefficients de chaque diagonale et d’en faire la somme si la diagonale est descendante ou la différence si la diagonale est ascendante.

Propriétés

M est inversible ssi $\det{M} \neq 0$
$\det {M} = \det {{}^t{M}}\,$
$\det (M \times N) = \det {M} \times \det{N}$
Si M est inversible alors $\det {M^{-1}} = (\det{M})^{-1}\,$
Et plus généralement si comM est la comatrice de M, $M \times {}^t{{\rm com} M} = \det{M} \times I_n$
Le déterminant est une application n-linéaire alternée. Le déterminant peut en effet être considéré selon les deux points de vue suivants :

det : $M_n(\mathbb R) \rightarrow \mathbb R$

$M \rightarrow \det(M)$

ou bien

det : $(\mathbb R^n)^n \rightarrow \mathbb R$

$(E_i)_{1 \le i \le n} \rightarrow \det(E_1, ..., E_n)$

En effet, $M_n(\mathbb R)$ est isomorphe à $(\mathbb R^n)^n$ , et on peut d'une même façon calculer le déterminant d'une matrice n × n et celui de ses n colonnes (vecteurs colonnes). Dans ce cas, il vient :

$\det(M) = \det(E_1,E_2,E_3...,E_i,...,E_j,...,E_n)\,$ .

La n-linéarité de det signifie que det est linéaire par rapport à ses n variables (les n vecteurs colonnes) :

$\det(E_1,E_2,...,aE_i+E_i',...,E_n)=a\cdot\det(E_1,E_2,...,E_i,...,E_n)+\det(E_1,E_2,...,E_i',...,E_n)\,$ , a étant un scalaire.

Le caractère alterné de det signifie que l'échange de deux de ses variables inverse son signe :

$\det(E_1,E_2,E_3...,E_i,...,E_j,...,E_n)=-\det(E_1,E_2,E_3...,E_j,...,E_i,...,E_n), i \neq j$ .

En particulier, si E_i = E_j ( $i \neq j$ ), le déterminant est nul (égal à son opposé).

Articles de mathématiques en rapport avec l'algèbre linéaire	Modifier
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