Diagonalisation

La diagonalisation est un procédé permettant de transformer certaines matrices (dites « diagonalisables ») en matrices diagonales.

Étant donné une matrice A\,, il s'agit en fait de déterminer une matrice inversible U\, telle que la matrice {U^{-1}AU} \, soit diagonale.

Intérêt

Les calculs matriciels sont parfois assez lourds, or en diagonalisant une matrice, on se place dans une base où l'on travaille avec une matrice diagonale, ce que simplifie énormément les calculs. Et en général une réduction d'endomorphisme permet de simplifier les calculs. On peut donc faire appel à cette méthode pour les problèmes de résolution de systèmes d'équations linéaires par exemple.

Méthode pratique

Dans la plupart des cas, il est nécessaire de calculer le polynôme caractéristique de la matrice, afin de déterminer ses valeurs propres et les sous-espaces propres associés :
Pour A \in M_n(\mathcal{K}) le polynôme caractéristique est \chi_A(T)=det(A-TI_n)\, où T\in\mathcal{K} et I_n \, est la matrice unitaire de M_n(\mathcal{K})
Les valeurs propres \lambda_i \, sont les racines de \chi_A \,, il y a donc au plus n \, valeurs propres de multiplicité m_i \,.
On calcule ensuite les sous-espace propres associés à chaque valeur propre :
E_{\lambda _i}=Ker(A-\lambda _i I_n) \,
La matrice ne sera diagonalisable que si la dimension de chaque sous-espace caractérique E_{\lambda _i} \, est égale à la multiplicité m_i \, de la valeur propre \lambda_i \,, ce qui signifie que pour chaque \lambda_i \, on a une base de m_i \, vecteurs propres que l'on note X_ {i,j} \,, 1 \le j \le m_i.
Alors B\, sera la matrice diagonale dont les coefficients diagonaux sont les \lambda_i \, répétés m_i \, fois et U\, sera la matrice dont les colonnes sont les vecteurs X_ {i,j} \, (l'ordre n'a pas d'importance, mais si on a le vecteur X_ {i,j} \, sur la k-ième colonne de U\,, alors on a la valeur propre \lambda_i \, sur la k-ième colonne de B\,).

Exemple

Soit A= \begin{pmatrix} 0 & 3 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \in M_3(\mathcal{R})
\chi_A(T)=det(A-TI_3)= \begin{vmatrix} -T & 3 & -1 \\ 2 & -1-T & 1 \\ 0 & 0 & 2-T \end{vmatrix}= -(2-T)^2 (3+T) (voir le calcul d'un déterminant)
Donc les valeurs propres sont :


Calcul des sous-espaces caractéristiques :
Calcul de E2 : On cherche les X = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} tels que :
(A-2I_3)X=0 \,
\Leftrightarrow {\begin{pmatrix} -2 & 3 & -1 \\ 2 & -3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}} = 0 \Leftrightarrow -2x_1+3x_2-x_3=0
Donc E_2=Vect \left\{ {\begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix}},\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \right\}
On procède de même pour E_{-3} \, et on obtient :
E_{-3}=Vect \left\{\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \right\}
On a bien : dim( E_2 )=2 \, et dim( E_{-3} )=1 \,, donc cette matrice est diagonalisable.
Une diagonalisation possible est : B=U^{-1}AU={\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & {-3}\end{pmatrix}}, avec U = {\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -3 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0\end{pmatrix}}

See also: Diagonalisation, Déterminant, Matrice diagonale, Matrice unitaire, Matrices, Polynôme caractéristique, Réduction d'endomorphisme, Système d'équations linéaires, Valeur propre, Vecteur propre