Diagramme de Bode
Le diagramme de Bode est un moyen de représenter le comportement en fréquence d’un quadripôle. Il permet une résolution graphique qui est souvent la méthode la plus rapide. Quelques définitions et rappels débutent ce chapitre. Puis le détail des formes canoniques utiles à l’étude des diagrammes de Bode va permettre de mettre en avant cet intérêt de l’étude graphique. Le tracé de Bode est un outil puissant et simplificateur : quand on a des quadripôles en cascade, les gains en dB des fonctions de transfert s'ajoutent (ce sont des log !) : il suffit de tracer les gains de chaque quadripôle séparément, et ensuite de les additionner (il suffit d'additionner les pentes). On trace ainsi très vite la réponse de quadripôles relativement complexes.
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Fonction de transfert
Un quadripôle est défini par sa fonction de transfert : celle-ci est une caractéristique intrinsèque au quadripôle. On a :
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La fonction complexe T(j) est ce qu'on appelle la réponse harmonique du système : pour chaque pulsation (donc pour chaque fréquence f ), T(j) définit le rapport des amplitudes du signal de sortie par rapport au signal d'entrée (le gain du quadripôle), et le déphasage entre la sortie et l'entrée.La représentation de bode est l'ensemble des deux diagrammes représentant le gain et le déphasage en fonction de la fréquence du quadripôle étudié.
On définit son diagramme de Bode en gain par la fonction. Il faut donc calculer son module Tdb = 20log( | T(jw) | ) . Il faut donc calculer son module ( | T(jw) | ) puis ensuite calculer 20log(module) pour passer en unité de décibel. L’unité des ordonnées est le décibel.
On définit son diagramme de Bode en phase par la fonction déphasage=Arg(T(jw)) . L’unité en ordonnée est le degré ou le radian. S’agissant de fonction complexe, on retrouve l’utilité de la fonction Arctangente.
On définit d’autre part les notions suivantes :
-Décade : rapport dix entre deux valeurs ; utilisée souvent sur l’axe des fréquences du diagramme de Bode pour parler d’un rapport dix entre deux fréquences.
-Octave : rapport deux entre deux valeurs ; utilisée souvent sur l’axe des fréquences du diagramme de Bode pour parler d’un rapport deux entre deux fréquences.
Impedances complexes
L'impédance complexe du condensateur s'écrit :
Zc = 1 / (jcw)
L'impédance complexe de la bobine s'écrit :
ZL = jlw
L'impédance complexe d'une résistance s'écrit :
Zr = R
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Les types de filtres
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Etude Analytique
Il y a deux tracés : le gain en fonction de la fréquence, et la phase en fonction de la fréquence.
L'axe fréquentiel est logarithmique ; pour le tracé du gain, on choisira le gain en dB, qui est aussi logarithmique. On verra que le tracé devient alors très lisible, car composé majoritairement de tronçons linéaires.
Pour matérialiser ces tronçons linéaires, on va d'abord tracer le diagramme asymptotique.
Pour ceci, il faut commencer par identifier tous les pôles (valeurs de qui annulent le dénominateur de H) et les zéros (valeurs de qui annulent le numérateur de H), et les classer par ordre croissant.
On va ensuite étudier la fonction de transfert en faisant des approximations. Imaginons qu'on ait une fonction à 2 pôles 1 < 2 . On va traiter les cas suivants :
w < < w1
w1 < < w < < w2
w2 < < w
Pour chacune de ces conditions (qui peuvent être assez approximatives, comme la deuxième), on va simplifier le gain de la fonction de transfert.