E=mc²

Sommaire

Énoncé

L'équation E = mc² est sans doute la plus célèbre au monde. Formulée en 1905 par Albert Einstein dans le cadre de la relativité restreinte, elle signifie que l'énergie au repos (E) d'une particule libre, est égale à sa masse (m) multipliée par le carré de la célérité de la lumière (c²) dans le vide.

On a donc, pour l'équation E = mc² :

E l'énergie en Joules;
m la masse en kilogrammes ;
c² la célérité de la lumière dans le vide : c²= 299792458² m².s^-2 = 89875517873681764 m².s^-2 très exactement.

Au repos signifie que la particule a une vitesse nulle dans le référentiel choisi.
Libre signifie que la particule est dans le vide : elle n'est soumise à aucun potentiel.

Mise en évidence

La découverte de cette formule, et sa démonstration, se base sur l'équation de l'énergie cinétique de Newton, généralisée d'un point de vue relativiste. On a donc :

$E = \frac {1}{2} mv^2$

$\frac {E}{m} = \frac {1}{2} v^2$

Si on s'interesse au rapport E/m (énergie sur masse); par exemple la désintégration du positronium emet un rayon gamma d'énergie (mesurée) 0,511 MeV = 0,8186.10^-13 J. Le rapport énergie/masse donne :

$\frac{0.8186 \cdot 10^{-13}}{9.1083 \cdot 10^{-31}} = 8.9874 \cdot 10^{16}$

D'après la formule de l'énergie cinétique, ce rapport s'exprime en J/kg, c'est à dire en m².s^-2. On a donc :

$\sqrt {8.9874 \cdot 10^{16}} = 2.9974 \cdot 10^8 m.s^{-1}$

C'est à dire la célérité de la lumière dans le vide, notée c. Le facteur c² de l'équation E = mc² sert donc à convertir la masse en énergie, et vice versa : l'énergie est de la masse "en mouvement", la masse est de l'énergie "au repos".

Exemple

Prenons un corps de masse au repos $m 0$ non nulle. S'il acquiert une vitesse v, sa masse observée m va augmenter suivant la relation suivante qui découle de la relativité restreinte.

$m = \frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} = \gamma m_0$

Avec :

m la masse du corps en mouvement en kg ;
m₀ la masse du corps au repos en kg ;
γ le facteur de Lorentz (sans unités) ;
v la vitesse en m.s^-1 ;
c la célérité de la lumière dans le vide, en m.s^-1 ;

Si sa vitesse v se rapproche de la vitesse de la lumière c, sa masse m, et donc son énergie $E = m c 2$ deviennent de plus en plus importantes, l'empêchant d'atteindre exactement la vitesse c.

Généralisation

Lorsque le corps en question n'est pas au repos, la relativité restreinte nous apprend que l'énergie totale vaut :
$E_{totale}^2=m^2c^4 + p^2c^2$ où $p$ est l'impulsion du corps.

Si on veut faire le lien avec la mécanique classique, on doit introduire la notion d'énergie cinétique $T$ . La formule $E = m c 2$ devient :
$E_{totale}=T+mc^2\,$ .

On en déduit alors : $p 2 c 2 = T 2 + 2 T m c 2$ , formule régulièrement utilisée en physique des particules.

Remarque : Ces formules ne sont valables que dans le cas non-relativiste. En effet, si la vitesse du corps devient trop proche de $c$ , alors certaines approximations ne peuvent plus être réalisées. Par exemple, pour un photon, $m 0 = 0$ et $v = c$ : on ne peut plus calculer $m=m_0/\sqrt{1-v^2/c^2}$ .
En fait, quand v approche c, alors le dénominateur approche zéro et m approche l'infini. Plus m approche l'infini, plus l'énergie nécessaire pour accélérer l'objet approche aussi l'infini. L'énergie dont on dispose n'étant pas infini, on se dirige progressivement vers une impasse.

E en unités de masse

Dans la formule E = mc², E est l'énergie au repos exprimée en unités conventionnelles, c'est-à-dire : $E c o n v = m c 2$ .
Exprimée en unité de masse, elle devient : $E = m$ .
La constante c n'est donc qu'un facteur de conversion d'un système d'unités de mesure en un autre : au lieu d'exprimer E en unités d'énergie, on l'exprime en unités de masse.