Élément neutre

Sommaire

1 Définition

2 Exemples

3 Propriétés

4 Voir aussi

Définition

Soit $E$ un ensemble muni d'une loi de composition interne $\top$ . Soit $e\in E$ .

$e$ est dit élément neutre à gauche si $\forall x \in E, e \top x = x$ .
$e$ est dit élément neutre à droite si $\forall x \in E, x \top e = x$ .
$e$ est dit élément neutre s'il est neutre à droite et à gauche.

Exemples

L'élément neutre ne l'est bien entendu que pour la loi considérée :

0 est l'élément neutre de l’addition arithmétique, ainsi que du « ou » logique.
1 est l'élément neutre de la multiplication arithmétique, ainsi que du « et » logique.
Id_n est l'élément neutre de la multiplication des matrices carrées d'ordre n.
Le mot vide ε est l'élément neutre de la concaténation des chaînes de caractères.
Si $E = {e 1, e 2}$ et est muni de la loi de composition interne $\top$ définie par $e_1\top e_1=e_2\top e_1=e_1$ et $e_2\top e_2=e_1\top e_2=e_2$ , alors $e 1$ et $e 2$ sont tous les deux éléments neutres à gauche. Il n'y a pas dans ce cas d'élément neutre à droite.

Propriétés

Il est possible que l'élément neutre à gauche (resp. à droite) ne soit pas unique. Mais s'il existe pour un ensemble et une loi de composition interne donnés à la fois un élément neutre à gauche et un élément neutre à droite, ils sont égaux et il n'existe donc alors en fait qu'un unique élément neutre (en effet, si $e 1$ est neutre à gauche et $e 2$ neutre à droite, $e_1=e_1\top e_2=e_2$ ).

Élément neutre

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Exemples

Propriétés

Voir aussi

See also: Élément neutre, Addition, Concaténation, ET, Ensemble, Groupe (mathématiques), Loi de composition interne, Mathématiques, Matrice (mathématiques), Matrice unité