Énergie cinétique

L'énergie cinétique (aussi appelée dans les anciens écrits vis viva, ou force vive) est l’énergie que possède un corps du fait de son mouvement. L’énergie cinétique d’un corps est égale au travail nécessaire pour faire passer le-dit corps du repos à son mouvement de translation et de rotation actuel.

Sommaire

1 Équations

1.1 Définition
1.2 Mécanique newtonienne
1.3 Mécanique relativiste

2 Théorème de l’énergie cinétique

2.1 Énoncé
2.2 Démonstration

3 L’énergie thermique en tant qu’énergie cinétique

4 Voir aussi

Équations

Définition

$E_c = \oint \vec{v} \cdot \vec{dp}$

où v est la vitesse du corps et dp l’augmentation infinitésimale de sa quantité de mouvement.

Mécanique newtonienne

En mécanique newtonienne, l’énergie cinétique totale d’un corps est considérée comme la superposition d’une énergie cinétique de translation et d’une énergie cinétique de rotation, aussi appelée énergie cinétique angulaire :

E c = E t + E r

où:

E_c est l’énergie cinétique totale
E_t est l’énergie cinétique de translation
E_r est l’énergie cinétique angulaire

Pour l’énergie cinétique de translation d’un corps de masse constante m, dont le centre de gravité se déplace sur une droite avec une vitesse uniforme v, on peut utiliser l’approximation newtonienne:

$E_t = \begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix} m\cdot v^2$

Par conséquent, pour un corps de masse m égale à un kg , pour une vitesse de 10 m/s, l’énergie cinétique est de 50 J , pour une vitesse de 100 m/s, elle est de 5 kJ ( 5000 J) , etc.

Si un corps est en rotation, son énergie cinétique de rotation ou énergie cinétique angulaire est obtenue à partir de la relation suivante :

$E_r = \begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix} I \cdot\omega^2$ ,

où :

E_r est l’énergie cinétique de rotation ou énergie cinétique angulaire
I est le moment d’inertie du corps
ω est la vitesse angulaire du corps.

Mécanique relativiste

Dans la théorie de la relativité d’Einstein (utilisée principalement pour les vitesses proches de la vitesse de la lumière), l’énergie cinétique est :

E c = m c 2 (γ - 1) = γ m c 2 - m c 2

$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - (v/c)^2}}$

$E_c = \gamma m c^2 - m c^2 = \left( \frac{1}{\sqrt{1- v^2/c^2 }} - 1 \right ) m c^2$

E_c l’énergie cinétique du corps
v est la vitesse du corps
m est sa masse au repos
c est la vitesse de la lumière dans le vide
γmc² est l’énergie totale du corps
mc² est l’énergie de la masse au repos (90 petajoule/kg)

La théorie de la relativité affirme que l’énergie cinétique d’un objet tend vers l’infini quand sa vitesse s’approche de la vitesse de la lumière et que, par conséquent, il est impossible d’accélérer un objet jusqu’à cette vitesse.

On peut montrer que le rapport de l’énergie cinétique relativiste sur l’énergie cinétique newtonienne tend vers 1 quand la vitesse v tend vers 0, i.e.,

$\lim_{v\to 0}{\left( \frac{1}{\sqrt{1- v^2/c^2\ }} - 1 \right) m c^2 \over mv^2/2}=1.$

Ce résultat peut être obtenu par un développement limité au premier ordre du rapport. Le terme de second ordre est 0.375 mv⁴/c², c’est-à-dire que pour une vitesse de 10 km/s il vaut 0,04 J/kg, pour une vitesse de 100 km/s il vaut 40 J/kg, etc.

Quand la gravité est faible et que l’objet se déplace à des vitesses très inférieures à la vitesse de la lumière (c’est le cas de la plupart des phénomènes observés sur Terre), la formule de la mécanique newtonienne est une excellente approximation de l’énergie cinétique relativiste.

Théorème de l’énergie cinétique

Ce théorème qui est valable uniquement dans le cadre de la mécanique newtonienne, permet de lier l’énergie cinétique d’un système au travail des forces auxquelles celui-ci est soumis.

Énoncé

Pour un solide ponctuel de masse m constante parcourant un chemin reliant un point A à un point B, la variation d’énergie cinétique est égale à la somme W des travaux des forces qui s’exercent sur le solide en question :

$E_{c_B}-E_{c_A}=W$

où E_cA et E_cB sont respectivement l’énergie cinétique du solide aux points A et B.

Démonstration

D’après la 2^e loi de Newton, l’accélération du centre de gravité est liée aux forces qui s’exercent sur le solide par la relation suivante :

$m\cdot\vec{a}=\vec{F}$

Pendant une durée dt, le solide se déplace de $\vec{du}=\vec{v}\cdot dt$ où $\vec{v}$ est la vitesse du solide. On en déduit le travail élémentaire des forces :

$\delta W=\vec{F}\cdot\vec{du}=m\cdot\vec{a}\cdot\vec{du}=m\cdot\frac{\vec{dv}}{dt}\cdot\vec{v}\cdot dt=m\cdot\vec{v}\cdot\vec{dv}$

Si le solide parcourt un chemin d’un point A à un point B, alors le travail total s’obtient en faisant une intégrale le long du chemin :

$W=\oint_A^{B}\vec{F}\cdot\vec{du}=\oint_{v_A}^{v_B}m\cdot\vec{v}\cdot\vec{dv}$

$\vec{v}\cdot\vec{dv}$ étant une différentielle totale, l’intégrale ne dépend pas du chemin suivi entre A et B et peut donc être obtenue explicitement :

$W=m\cdot\oint_{v_A}^{v_B}\vec{v}\cdot\vec{dv}=\frac{1}{2}m\cdot\left ( v_B^2-v_A^2 \right ) =E_{c_B}-E_{c_A}$

CQFD

L’énergie thermique en tant qu’énergie cinétique

L’énergie thermique est une forme d’énergie due à l’énergie cinétique totale des molécules et des atomes qui forment la matière. La relation entre la chaleur, la température et l’énergie cinétique des atomes et des molécules est l’objet de la mécanique statistique et de la thermodynamique.

De nature quantique, l’énergie thermique se transforme en énergie électromagnétique par le phénomène de rayonnement du corps noir.

La chaleur, qui représente un échange d’énergie thermique, est aussi analogue à un travail dans le sens où elle représente une variation de l’énergie interne du système. L’énergie représentée par la chaleur fait directement référence à l’énergie associée à l’agitation moléculaire. La conservation de la chaleur et de l’énergie mécanique est l’objet du premier principe de la thermodynamique.

Voir : la constante de Boltzmann et capacité calorique spécifique

Voir aussi

Cinétique