Équation de Klein-Gordon

L'équation Klein-Gordon (l'équation Klein-Fock-Gordon ou parfois l'équation Klein-Gordon-Fock) est une version relativiste (décrivant les particules scalaires, ou pseudoscalaires, sans spin) de l'équation de Schrödinger.

L'équation de Schrödinger pour une particule libre est:

$\frac{\hat{\vec{p}}^2}{2m} \psi = i \frac{\partial}{\partial t}\psi$

où $\hat{\vec{p}} = -i\nabla$ est l'opérateur de la quantité de mouvement, utilisant les unités naturelles où $\hbar=c=1$ .

L'équation de Schrödinger souffre de ne pas être covariante dans la relativité, signifiant qu'elle ne tient pas compte de la théorie restreinte de la relativité d'Einstein.

L'équation de Schrödinger peut être vue comme une généralisation aux fonctions d'ondes de la relation classique (non-relativiste) liant énergie $E$ et quantité de mouvement $p$ :

$\frac{p^2}{2m} = E$

C'est en effet cette relation que l'on obtient en appliquant l'équation de Schrödinger à une onde plane :

$\psi(\vec x, t) = \exp \big[ i (\vec p . \vec x - E t) \big]$

Pour généraliser l'équation de Schrödinger au cas relativiste, il est naturel d'essayer d'utiliser la version relativiste de l'égalité classique $E = p 2 / (2 m)$ , c'est-à-dire d'utiliser la relation :

$\sqrt{p^2 + m^2} = E$

Insérer l'opérateur de quantité de mouvement de la mécanique quantique donne l'équation :

$\sqrt{(-i\nabla)^2 + m^2} \psi= i \frac{\partial}{\partial t}\psi$

Ceci, cependant, est une expression encombrante à travailler en raison de la racine carrée. L'encombrement, cependant, ne compte pas vraiment comme objection. Mais cette équation, telle qu'elle se tient, est nonlocale.

Au lieu de cela, Klein et Gordon travaillèrent avec le carré de cette équation (l'équation Klein-Gordon pour une particule libre), qui se lit en notation covariante :

$(\partial^2 + m^2) \psi = 0.$

L'équation Klein-Gordon fut en fait trouvée d'abord par Schrödinger, avant qu'il fit la découverte de l'équation qui porte maintenant son nom. Il la rejeta car il ne pouvait lui faire décrire certaines données expérimentales (l'équation ne tient pas compte du spin de l'électron); la façon qu'il trouva son équation était en faisant des simplifications à l'équation Klein-Gordon.

On sait aujourd'hui que l'équation de Klein-Gordon permet de décrire les photons (qui sont des particules sans spin). Pour décrire les électrons de manière relativiste, il faut utiliser l'équation de Dirac.

En 1926, peu après que l'équation de Schrödinger fut indroduite, Fock écrivit un article sur sa généralisation pour le cas des champs magnétiques, où les forces étaient dépendantes de la vélocité, et dériva indépendamment cette équation. Klein et Fock ont chacun utilisé la méthode de Kaluza et de Klein. Fock détermina aussi la théorie de jauge pour l'équation ondulatoire.

Équation de Klein-Gordon

See also: Équation de Klein-Gordon, 1926, Albert Einstein, Champ magnétique, Erwin Schrödinger, Paul Dirac, Photon, Relativité, Relativité restreinte, Scalaire