Équation du second degré

Sommaire

1 Historique

2 Résolution

2.1 Forme canonique et discriminant Δ

2.1.1 Si Δ > 0
2.1.2 Si Δ = 0
2.1.3 Si Δ < 0

2.1.3.1 Résolution dans l'ensemble des réels
2.1.3.2 Résolution dans l'ensemble des complexes

2.2 En utilisant les racines évidentes
2.3 Gain de précision

3 Voir aussi

Historique

Les équations du second degré se posaient chez les Babyloniens (on cherchait alors une solution positive à l'aide d'un algorithme), les Égyptiens voire les Grecs (Livre II des Éléments d'Euclide) mais aucun n'a explicitement étudié les équations.

Les équations du second degré ont été les premières équations résolues, l'équation mathématique est inventée en même temps que l'algèbre par le savant arabo-musulman al-Khwarizmi au IX° siècle, qui reprit cette tradition, augmentée des connaissances grecques pour la démonstration, afin de trouver une solution (réelle et positive.) Notons que les équations étaient présentées sous l'une des formes suivantes parce qu'un nombre était supposé positif :
ax² = bx + c
ax² + bx = c
ax² + c = bx

Jusqu'à la Renaissance, l'algèbre n'utilisait ni symboles ni lettres, et était purement verbale.

Résolution

Aujourd'hui une équation dite du « second degré » est toujours de la forme $a x 2 + b x + c = 0$ où a, b et c sont des coefficients réels, a non nul. Pour résoudre ce type d'équation, on tente de factoriser la fonction définie par :

f (x) = a x 2 + b x + c

Forme canonique et discriminant Δ

On se propose d'utiliser pour cela les identités remarquables.
$f(x) = a \left(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}\right)$
$f(x) = a \left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \left(\frac{b}{2a}\right)^2 + \frac{c}{a}\right]$
$f(x) = a \left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a^2} + \frac{c}{a}\right]$
$f(x) = a \left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}\right]$

On appelle cette forme d'écriture la forme canonique du trinôme.
Soit $Δ = b 2 - 4 a c$ . $Δ$ (delta) est appelé discriminant de ce trinôme.

Si Δ > 0

Si $Δ > 0$ , on peut écrire que l'équation $f (x) = 0$ équivaut à :
$0 = \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{\Delta}{4a^2}$
$0 = \left(x + \frac{b}{2a} - \sqrt{\frac{\Delta}{4a^2}}\right)\left(x + \frac{b}{2a} + \sqrt{\frac{\Delta}{4a^2}}\right)$
$0 = \left(x + \frac{b}{2a} - \frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)\left(x + \frac{b}{2a} + \frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)$
$0 = \left(x + \frac{b - \sqrt{\Delta}}{2a}\right)\left(x + \frac{b + \sqrt{\Delta}}{2a}\right)$
alors l'équation a deux racines réelles distinctes $x 1$ et $x 2$ :
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$

La fonction f se factorise finalement : $f (x) = a (x - x 1)(x - x 2)$ .

Si Δ = 0

Si $Δ = 0$ , on peut écrire, par la même méthode, que $f (x) = 0$ équivaut à dire que :
$\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = 0$
L'équation a alors une racine réelle double $x 0$ :
$x_0 = -\frac{b}{2a}$

On peut alors factoriser la fonction f tel que
$f (x) = a (x - x 0) 2$
Or, cette écriture est une identité remarquable ; ainsi, toute identité remarquable de la forme $(a - b) 2$ a pour discriminant 0, et sa racine double peut être aisément trouvée, sans même calculer le discriminant.

Si Δ < 0

On rappelle que la forme canonique du trinôme est :
$f(x) = a \left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{\Delta}{4a^2}\right]$

$a \ne 0$ , donc résoudre $f (x) = 0$ revient à résoudre :
$\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{\Delta }{4a^2}= 0$

Résolution dans l'ensemble des réels

Soit α un réel, tel que :
$\alpha = \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2$
On sait qu'un carré ne peut être négatif, donc $\alpha \ge 0$ .

$\Delta < 0 \Rightarrow -\Delta > 0$
Or, additionner deux nombres positifs dont l'un est strictement positif n'est jamais égal à zéro sur $\mathbb R$ . Donc, si $Δ < 0$ , il n'existe aucune racine réelle au trinôme.

Résolution dans l'ensemble des complexes

Cependant, il existe 2 racines complexes $z 1$ et $z 2$ . Posons $δ$ tel que $Δ = (i δ) 2$ . En reprenant la factorisation déjà utilisée dans le cas où $Δ > 0$ , on trouve :
$z_1 = \frac{-b - i\delta}{2a}$ et $z_2 = \frac{-b + i\delta}{2a}$ .

La fonction se factorise alors : $a z 2 + b z + c = a (z - z 1)(z - z 2)$

Le théorème de d'Alembert-Gauss est donc vérifié dans le cas d'un polynôme de degré 2: dans tous les cas, il possède deux racines: soit deux racines réelles distinctes, soit deux racines réelles confondues (c'est-à-dire une racine double), soit deux racines complexes.

En utilisant les racines évidentes

Les racines d'un polynôme du second degré ont plusieurs propriétés intéressantes et qui peuvent simplifier leur recherche.

Soit S la somme des racines, on a
$S = x_1 + x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} + \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-2b}{2a} = -\frac{b}{a}$

Soit P le produit des racines, on a
$P = x_1x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \times \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{(-b + \sqrt{\Delta})(-b - \sqrt{\Delta})}{4a^2}$
$P = \frac{-(\sqrt{\Delta} - b)(\sqrt{\Delta} + b)}{4a^2} = \frac{-(\Delta - b^2)}{4a^2} = \frac{-(b^2 - 4ac - b^2)}{4a^2} = \frac{4ac}{4a^2} = \frac{c}{a}$

Il est donc très facile de calculer ces deux valeurs. Et dès que l'on a trouvé une des deux racines d'un polynôme (en faisant un peu de calcul mental et en essayant des valeurs simples à calculer comme 0, 1, 2, -1...), la seconde racine devient évidente: $x_2 = S - x_1 = -\frac{b}{a} - x_1$ ou encore $x_2 = \frac{P}{x_1} = \frac{c}{ax_1}$ .

Ainsi, avec le trinôme $x 2 + 3 x - 4$ , on trouve comme première racine $x 1 = 1$ et comme $\frac{c}{a} = -4$ , on n'a même plus besoin de calculer pour trouver la deuxième racine $x 2 = - 4$ .

Finalement, l'utilisation de racines évidentes et des propriétés des racines d'un polynôme permet d'accélérer grandement la recherche de ces racines.

Gain de précision

Lorsque $Δ > 0$ , si $b$ est positif, l'expression de $x 1$ conduit à calculer la différence des deux nombres $\sqrt{\Delta}$ et $b$ . Cela entraîne une perte de précision, d'autant plus grave que $\sqrt{\Delta}$ est très proche de $b$ , ou que $4 a c$ est petit par rapport à $b 2$ .