Espace de Banach

On dit qu'un espace vectoriel normé est de Banach s'il est complet pour la topologie issue de sa norme. Ces espaces possèdent de nombreuses propriétés qui font d'eux un outil essentiel pour l'analyse.

Sommaire

1 Propriété des fermés emboîtés

2 Théorème de Banach-Steinhaus

2.1 Enoncé
2.2 Exemple

3 Littérature

4 Humour

Propriété des fermés emboîtés

Soit une suite décroissante de fermés non vides d'un espace de Banach telles que le diamètre de chaque fermé soit réel et que la suite des diamètres tende vers 0. Alors l'intersection des fermés est réduite à un singleton.

Cette propriété permet de démontrer qu'un espace de Banach est de Baire.

Théorème de Banach-Steinhaus

Enoncé

Soient $E$ un espace de Banach, et $F$ un espace vectoriel normé. Soit $(u_i)_{i\in I}$ une famille d'éléments de $\mathcal L(E,F)$ (voir application linéaire) et soit $A$ l'ensemble des vecteurs $x\in E$ tels que $\sup_{i\in I} \|u_i(x)\| < + \infty$ . Alors soit $A$ est maigre, c'est-à-dire réunion dénombrable d'ensembles rares (un ensemble est rare si l'intérieur de son adhérence est vide) et son complémentaire est dense, soit $\sup_{i\in I} \| u_i \| < + \infty$ . En particulier, si $A = E$ , seule la seconde éventualité est possible.

Remarque : la dernière norme utilisée est la norme subordonnée.

Exemple

Soit E l'espace des fonctions continues sur [0,1] à valeurs réelles, muni de la norme $\| f \|_\infty = \int_0^1 |f(t)| dt$ , et F = $\mathbb R$ . Pour chaque entier i, soit u_i l'opérateur défini par :

$u_i(f) = i \int_0^1 f(t) dt - \sum_{k=1}^i f(k/i)$

${u_i(f) \over i}$ n'est autre que l'erreur commise dans le calcul de l'intégrale de f lorsque l'on prend une somme de Riemann correspondant à une subdivision régulière de [0,1] en i intervalles égaux. Cette erreur est un $O({1 \over i})$ pour les fonctions C¹ ou lipschitziennes, mais il n'en est pas de même pour les fonctions continues en général. En effet, on montre que $\| u_i \| = 2i$ , de sorte que $\sup_{i\in I} \| u_i \| = + \infty$ et donc que le complémentaire de A est dense. Une fonction f appartenant à ce complémentaire vérifie donc $\sup_{i\in I} \|u_i(f)\| = + \infty$ , ce qui signifie que l'ensemble $u i (f)$ n'est pas borné et donc que l'erreur commise ${u_i(f) \over i}$ n'est pas un $O({1 \over i})$ .

Le théorème de Banach-Steinhaus donne une preuve de l'existence d'objets vérifiant telle ou telle propriété, mais cette preuve n'est pas constructive.

Littérature

Stefan Banach: Théorie des opérations linéaires. -- Warszawa 1932. (Monografie Matematyczne; 1) Zbl 0005.20901

Humour

Le cri du Banach: Un Banach, ça fait boin-boin. (prononcer Banach, comme le font certains, Banarr).