Espace euclidien
Un espace euclidien est défini de nos jours comme un espace vectoriel normé de dimension finie et dont la norme est héritée d'un produit scalaire. On a coutume de penser l'espace où nous évoluons, notre espace physique, comme un espace euclidien de dimension 3.
Remarque sur l’histoire du concept
Historiquement, l’espace euclidien était seulement l’espace physique de dimension 3. La définition actuelle est plus générale et elle souligne les ressemblances entre les espaces euclidiens de dimensions différentes, 1, les droites, 2, les plans, ou espaces infinis dans deux directions perpendiculaires, 3, les espaces infinis dans trois directions mutuellement perpendiculaires, 4, les espaces infinis dans quatre directions perpendiculaires, et ainsi de suite.
Les espaces de dimension supérieure ou égale à quatre sont un peu difficiles à concevoir mais ils peuvent être très bien connus. En principe rien n’empêche de les connaître aussi bien que les espaces plus usuels, sauf qu’on ne peut pas en donner une représentation visuelle complète. On peut quand même en donner des représentations partielles. De la même façon que les tranches d’un saucisson (un volume à trois dimensions) sont idéalement (si elles étaient infiniment fines) des figures à deux dimensions, les tranches d’un espace de dimension n sont des espaces de dimension n-1.
Espace euclidien et espace-temps
Il faut faire attention à ne pas confondre l’espace euclidien de dimension 4 avec l’espace-temps, qui est de dimension 4 pour les théories courantes, mais qui n’est pas euclidien. Le “carré de la distance” spatio-temporelle (x2 + y2 + z2 − t2) n’est pas toujours positif et n’est donc pas défini par un produit scalaire.
Pour la théorie de la relativité restreinte, l’espace est un espace euclidien de dimension 3. Cela veut dire que si l’on prend une tranche instantanée d’espace-temps (l’ensemble de tous les points spatio-temporels, ou évènements, simultanés relativement à un référentiel), on obtient un espace euclidien de dimension 3. Le produit scalaire peut y être défini à partir de l’ensemble des positions possibles des corps rigides en munissant le référentiel d’un repère orthonormé. Voir Einstein, La relativité, et ci-dessous.
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L’approche euclidienne de la science de l’espace
Euclide a rassemblé dans un livre fondateur (Les Éléments) toutes les connaissances géométriques de son temps sous la forme d’une théorie axiomatique. Toutes les vérités sont ou bien des théorèmes, ou propositions, ou bien des axiomes, qu’Euclide rassemble en définitions, postulats, et notions communes. La façon classique de concevoir les rôles respectifs des axiomes, des théorèmes et des définitions (Pascal, L’esprit de géométrie et l’art de persuader) n’était pas celle d’Euclide. L’œuvre d’Euclide s’inscrit dans un contexte polémique. Les définitions sont destinées à fixer le sens des notions fondamentales. Les notions communes sont des vérités peu ou pas discutables. En revanche les cinq postulats ont davantage le caractère d’exigences qu’on peut ou non accepter. Les trois premiers fixent des droits de construction des figures avec des droites et des cercles. Le quatrième (tous les angles droits sont égaux) impose une uniformité à la structure de l’espace. Le cinquième est beaucoup moins évident que les précédents mais il est indispensable pour les preuves de presque tous les théorèmes (sauf les premiers).
Selon les critères de l’axiomatique moderne, les Eléments ne sont pas complètement satisfaisants. Certains axiomes ne sont jamais utilisés. D’autres sont utilisés sans avoir été mentionnés comme tels au préalable, ou sans être énoncés. Les preuves ne sont pas toujours complètes. Elles font souvent appel à des constructions géométriques. La question des règles de déduction n’est pas posée.
La méthode axiomatique euclidienne a été développée en plusieurs temps.
- Le caractère polémique de l’œuvre initiale a rapidement disparu. Le prestige d’Euclide a été tel que ses axiomes, parfois contestables, ont été considérés comme des vérités premières. Seul le cinquième postulat suscitait des objections et certains ont pour cela espéré le prouver à partir des autres axiomes. On sait depuis le développement des géométries non-euclidiennes qu’une telle preuve ne peut exister.
- Les axiomes étant considérés comme des vérités évidentes, l’esprit de géométrie a été défini par Pascal comme la capacité à exposer toutes les connaissances, soit comme des axiomes, ou vérités premières, soit comme des théorèmes prouvés à partir des axiomes. Les axiomes sont considérés comme improuvables et leur vérité est supposée connue de tout être rationnel. Par analogie, certaines notions fondamentales (point, droite, plan, ...) étaient considérées comme des notions premières, indéfinissables, dont la signification était supposée connue de tout être rationnel.
- Les insuffisances formelles de l’exposé d’Euclide ont été progressivement complétées, notamment par Pasch et Hilbert. Celui-ci a donné, avec Les fondements de la géométrie, un exposé axiomatique complet, rigoureux, et cependant toujours fidèle à l’esprit de l’œuvre initiale.
- L’algèbre moderne a achevé le programme d’unification, entamé par Euclide et ses prédecesseurs, poursuivi par Descartes, entre les méthodes géométriques et les méthodes algébriques (les calculs avec des nombres et plus généralement les calculs avec des équations). La suite de cet article est consacrée à cette unification, et à son sens physique.
Les méthodes algébriques en géométrie
Descartes a utilisé et développé les méthodes algébriques de son temps et il a montré clairement leur pertinence pour trouver des solutions aux problèmes géométriques. Par exemple, un cercle centré sur l'origine et de rayon R est l’ensemble de tous les points d’un plan dont les coordonnées (x, y) satisfont à l’équation x2 + y2 = R2 .
On peut se servir de cette méthode cartésienne pour fonder la géométrie sur la théorie des nombres réels. Cela rejoint le principe de Pythagore, tout est nombre, mais dans un esprit un peu différent de celui des pythagoriciens, pour qui les nombres étaient toujours rationnels, au double sens, mathématique - un quotient de deux nombres entiers - et philosophique - ce qui peut être connu d’une façon rationnelle.
On part de la définition du corps 
des nombres réels. Si on définit les points par des couples (x,y) de nombres, les droites par les ensembles de points qui sont solutions d’une équation ax + by + c = 0, avec (a,b) ≠ (0,0), la congruence des figures par l’existence d’une isométrie, ou transformation qui conserve les distances, et la distance entre deux points par la norme du vecteur qui relie l'un à l’autre, alors tous les axiomes de la géométrie euclidienne donnés par Hilbert sont vrais. On dit qu’on a défini un modèle de ces axiomes.
Inversement, on peut partir des axiomes géométriques, définir le corps des nombres réels et les espaces 
et 
munis de leur structure vectorielle et de leur norme euclidienne.
Les approches euclidiennes et algébriques sont donc équivalentes, mais la méthode algébrique, bien que parfois moins intuitive, est de loin la plus puissante. Les axiomes algébriques sont souvent formellement plus simples et plus aisément généralisables que les axiomes géométriques.
Les positions des corps rigides
L’étude des positions des corps rigides est une troisième façon, formellement équivalente aux précédentes, d’aborder les principes de la géométrie euclidienne. Elle permet de relier directement des principes géométriques à des principes physiques (relatifs à des observations). Elle peut être généralisée à la géométrie de l’espace-temps, parce qu’il suffit de remplacer la notion de corps rigide par celle d’automate rigide, ou horloge. Elle éclaire le lien entre les méthodes algébriques et les constructions géométriques.
Egalité des figures et rigidité des corps
Une des notions fondamentales de la théorie d’Euclide est celle d’égalité, ou congruence entre figures. Deux figures, par exemple deux triangles, sont égales, si elles peuvent représenter deux positions différentes d’un même corps rigide. Pour comprendre le sens physique de l'égalité des longueurs, il n’est donc pas nécessaire d’introduire les nombres. Si par exemple on veut mesurer la largeur d’une fenêtre pour acheter un rideau, il suffit de prendre une ficelle et d’y faire une marque. On peut se servir de la ficelle pour choisir la bonne largeur de rideau sans avoir besoin de connaître son nombre de centimètres. De façon générale, pour savoir si deux distances AB et CD sont égales, on peut repérer deux points E et F sur une règle rigide ou une ficelle tendue, et s’assurer que EF peut être ajusté à la fois sur AB et sur CD . Il faut bien sûr que la règle soit rigide ou la ficelle tendue. Cela conduit à un problème de circularité :
Au sens géométrique, une règle est rigide lorsque les distances entre ses points ne varient pas. Mais comment savoir que ces distances ne varient pas, qu’elles restent toujours égales à elles-mêmes ?
Pour savoir que deux distances sont égales, on se sert d’un corps rigide. Mais pour savoir qu’un corps est rigide il faut savoir que ses distances restent égales. Voilà qui ressemble à un cercle vicieux.
Les mesures de longueur fournissent des résultats cohérents lorsque la règle de transitivité est respectée : si les mesures établissent que AB et CD ont la même longueur, et que CD et EF ont aussi la même longueur, alors elles doivent établir que AB et EF ont la même longueur. Imaginons que parmi tous les corps supposés rigides, les uns se dilatent, d’autres se contractent, et chacun selon son propre rythme. Alors les mesures de longueur ne seraient plus possibles, elles fourniraient des résultats incohérents. Cette hypothèse n’est pas purement imaginaire : les solides réels ne sont pas rigides au sens géométrique. Leurs dimensions varient avec la température. Pour obtenir des mesures cohérentes, il faut expérimenter dans un milieu de température uniforme ou bien avec des matériaux peu sensibles aux variations de température.
Imaginons maintenant que tous les corps supposés rigides soient en vérité dans un mouvement de perpétuelle expansion, tous au même rythme. Les mesures de longueur seraient toujours possibles, elles fourniraient des résultats cohérents et elles conduiraient à supposer qu’une distance sur un corps reste toujours égale à elle-même alors qu’elle ne cesse de grandir. Cela montre qu’on ne peut pas savoir en un sens absolu si une distance reste toujours égale à elle-même. Les vérités géométriques sont fondés expérimentalement sur des mesures qui établissent des relations entre les corps. C’est la cohérence entre toutes les mesures qui montrent la vérité des équations que l’on établit.
Toute cette discussion sur l’égalité des longueurs pourrait être conduite sur l’égalité des durées, des masses, des températures et de n’importe quelle grandeur physique. La vérité des théories repose sur la cohérence des mesures.
Le rôle fondamental de l’étude des translations
L’étude géométrique d’une figure peut être très compliquée dès qu’il y a de nombreuses parties. Il faut étudier toutes les positions relatives. Mais on dispose d’outils d’une grande puissance parce qu’ils sont très généraux, parce qu’ils permettent d’étudier en une seule fois toutes les positions de tous les corps. Pour cela on étudie l’ensemble de tous les déplacements possibles des corps.
Un déplacement est défini par un couple de positions d’un même corps, l’une initiale, l’autre finale. Au premier abord on ne voit pas le gain en généralité parce que la diversité des déplacements est encore plus grande que la diversité des corps. Mais on peut introduire une notion abstraite et générale pour laquelle deux corps peuvent effectuer le même déplacement même si par ailleurs ils sont très différents.
Quand des objets sont fixés sur une table que l’on déplace, ils effectuent tous en un sens le même déplacement. Par définition deux corps effectuent le même déplacement quand il existe un troisième corps, une table, un support, sur lequel ils pourraient être tous les deux fixés lors du passage de la position initiale à la position finale. Il suffit donc d’étudier l’ensemble de tous les déplacements d’un support pour en déduire les déplacements de tous les corps. Connaissant tous ces déplacements possibles, on en déduit toutes les positions possibles, puisque toutes les positions peuvent être obtenues par un déplacement à partir de n’importe quelle position initiale.
Pour la géométrie des corps rigides, il y a seulement deux types de déplacements fondamentaux, les translations et les rotations. La géométrie des corps rigides est donc essentiellement l’étude des translations et des rotations. Les translations jouent un rôle particulièrement fondamental parce qu’elles relient d’une façon très déterminée tous les points de l’espace : étant donnés deux points il existe toujours une translation et une seule qui déplace l’un sur l’autre. L’ensemble des translations révèle donc particulièrement bien la structure de l’espace, c’est-à-dire les relations entre ses points.
Les translations sont des déplacements en ligne droite, sans tourner sur soi-même. Les rotations consistent à tourner autour d’un point fixe. La propriété fondamentale des rotations est donc simple : il y a un point fixe. Un point du support garde la même position au cours du déplacement. La distance entre sa position initiale et sa position finale est égale à zéro.
La propriété fondamentale des translations est un peu plus compliquée : tous les points du support effectuent le même trajet. Les distances entre la position initiale et la position finale de tous les points du support sont toutes égales.
Qu’est-ce qu’une ligne droite ?
Si l’on définit les translations à partir de leur propriété fondamentale alors on peut définir la notion de ligne droite à partir de celle de translation. Une droite est un ensemble de points qui sont tous obtenus à partir d’un seul d’entre eux et d’un ensemble complet de translations parallèles. Intuitivement on trace une ligne droite quand on chemine sans jamais changer de direction. La notion de parallélisme ou d’égalité des directions de deux translations est un peu délicate à définir. Il faut d’abord introduire la notion de composition des déplacements. A partir de deux déplacements d et e on peut définir un troisième f qui est le produit des deux. On dit aussi que f est obtenu par composition de d et e. f consiste à effectuer d’abord le déplacement d puis le déplacement e. f est égal à d suivi de e. Soit x une position initiale d’un point du support. On note d(x) sa position finale après le déplacement d. Si l’on effectue ensuite e, sa nouvelle position finale est e(d(x)), on a donc f(x)=e(d(x)). On a adopté une notation curieuse au premier abord : d suivi de e s’écrit e°d , parce que f(x)=(e°d)(x)=e(d(x)) .
Les déplacements sont des fonctions. La composition des déplacements est un cas particulier de la composition des fonctions.
A partir d’un seul déplacement d, on peut en définir de nombreux autres : d°d, d°d°d, d°d°d°d, et ainsi de suite. Ils vont tous dans la même direction. Ils sont tous parallèles. On peut aussi trouver des petits déplacements, p par exemple, tels que d=p°p°p°p°p°p°p. P est le résultat de la division de d en sept parties égales. p a bien sûr la même direction que d. La définition de la notion générale d’égalité des directions pose cependant une difficulté technique à cause des nombres irrationnels.
Les nombres irrationnels
Au premier abord on pourrait croire que la division d’une ligne en parties égales et la possibilité de mettre des lignes les unes au bout des autres suffisent pour définir toutes les distances. En répétant un grand nombre de fois une même distance, on peut aller aussi loin qu’on veut. C’est le principe d’Archimède. En divisant une ligne en parties égales, on peut avoir des morceaux aussi petits que l’on veut. On peut donc faire des mesures avec toute la précision souhaitée.
On sait cependant qu’il y a des distances incommensurables. La diagonale d’un carré par exemple est incommensurable avec son côté. On peut diviser le côté en parties égales aussi petites qu’on le veut et réassembler les morceaux de toutes les façons possibles, on n’obtiendra jamais une longueur exactement égale à la diagonale du carré. La démonstration de ce théorème n’est pas très difficile. On l’attribue en général à un pythagoricien. On raconte que celui qui a trouvé cette démonstration a été jeté par ses camarades du haut d’une falaise parce que cela semblait aller à l’encontre de l’enseignement de leur maître Pythagore.
Lorsqu’un nombre mesure une distance incommensurable avec l’unité de longueur, on dit qu’il est irrationnel, non parce que Pythagore est pris comme exemple de rationalité, mais parce que la division en parties égales et la réunion sont exemplaires de l’activité de la raison.
Les nombres décimaux ne sont pas irrationnels parce qu’ils n’ont qu’un nombre fini de chiffres après la virgule. Les nombres irrationnels ont toujours un nombre infini de chiffres après la virgule. Certains nombres rationnels aussi, un tiers par exemple : 1/3=0,3333333333333....Mais les nombres irrationnels ont cette propriété remarquable que les séquences de chiffres font toujours une place à l’innovation. Si une suite infinie de décimales est obtenue par la répétition d’une même séquence de chiffres, c’est que le nombre est rationnel.
Lorsqu’une translation peut être obtenue à partir d’une autre par division en parties égales et composition des parties, elles sont commensurables. Pour prendre en compte les translations parallèles et incommensurables on peut passer par la notion de convergence d’une suite. Deux translations sont parallèles ou ont la même direction lorsqu’il existe une suite de translations toutes commensurables avec l’une et qui convergent vers l’autre, c’est-à-dire qu’elle s’en rapproche indéfiniment.
Un ensemble de translations parallèles est complet s’il contient toutes les translations qui ont la même direction. Cela termine la définition de la notion de ligne droite à l’intérieur d’une théorie des positions des corps rigides.
Les plans et l’espace euclidien à trois dimensions
Un plan est un ensemble de points qui sont tous obtenus à partir des points d’une droite et d’un ensemble complet de translations parallèles entre elles mais non parallèles à la droite initiale. On obtient un plan en déplaçant une ligne droite transversalement sans jamais changer de direction.
Un plan peut donc être défini à partir d’un point et de deux translations non-parallèles.
Une translation est coplanaire à deux autres, ou parallèle au plan défini par les deux autres, lorsqu’elle déplace les points de ce plan sans les en faire sortir, comme lorsqu’on fait glisser une feuille de papier sur une autre.
Un espace euclidien à trois dimensions est un ensemble de points qui sont tous obtenus à partir des points d’un plan et d’un ensemble complet de translations parallèles entre elles mais non-parallèles au plan initial.
Les limites de la vérité expérimentale de la géométrie euclidienne
C’est un fait d’expérience que notre espace est euclidien à trois dimensions, du moins si on se limite aux observations à notre échelle, celle des corps rigides sur la Terre. La physique des particules élémentaires d’une part , l’astrophysique à grande échelle d’autre part ne peuvent pas se contenter de la géométrie euclidienne. Même à notre échelle, la gravitation, le fait que les corps tombent, est une manifestation du caractère non-euclidien de l’espace, mais il s’agit d’une géométrie de l’espace-temps (la théorie dite de la relativité générale) et elle ne remet pas en question la validité locale à notre échelle de la géométrie euclidienne. Dire que l’espace est euclidien à trois dimensions n’est pas une vérité métaphysique sur la nature de la réalité ou de la matière. Les questions sur le très-petit et le très-grand conduisent à la remettre en question comme n’importe quelle hypothèse. Que l’espace est euclidien veut seulement dire que la théorie marche bien quand on l’applique dans de bonnes conditions aux corps solides à notre échelle.
Coordonnées cartésiennes et espaces vectoriels
Les translations sont particulièrement commodes pour introduire la méthode cartésienne, pour numériser la géométrie. Pour se repérer dans l’espace, il suffit de se donner trois translations non-coplanaires. Par exemple dans une ville, on peut adopter les trois directions ouest-est, nord-sud et bas-haut. On peut atteindre tous les points de l’espace à partir d’un seul par une succession de trois trajets selon ces trois directions (dans les deux sens). À Manhattan par exemple, on chemine sur des rues, des avenues et dans des conduites d’ascenseur. On peut repérer chaque point en mesurant les longueurs de ces trajets. Les trois nombres ainsi obtenus sont ses coordonnées cartésiennes. Les trois numéros, avenue, rue et étage, à Manhattan, en fournissent un exemple approximatif.
Un ensemble complet de translations parallèles est un espace vectoriel (réel) à une dimension. On peut définir des espaces vectoriels à plusieurs dimensions et la théorie générale de ces espaces est l’algèbre linéaire. Les ensembles de translations dans notre espace physique sont des espaces vectoriels à une, deux ou trois dimensions pourvu qu’ils soient complets. En particulier ils doivent être clos pour la composition, c’est-à-dire qu’ils contiennent toujours u°t s’ils contiennent les translations t et u.
Les translations et les rotations suffisent pour définir tous les déplacements des corps rigides
Toutes les positions d’un corps rigide peuvent être atteintes à partir de n’importe quelle position initiale à partir d’une translation et d’une rotation. L’approche moderne de la géométrie, par les translations et les rotations, permet donc de comprendre a posteriori pourquoi Euclide a pu développer une théorie aussi puissante avec des éléments aussi réduits, les lignes droites et les cercles.
La définition d'un produit scalaire à partir des positions des corps rigides
Il suffit de définir un repère orthonormé, c'est à dire un point origine et trois vecteurs - translations - mutuellement perpendiculaires. Pour définir la perpendicularité de deux droites à partir de l'égalité des longueurs, on peut passer par exemple par la notion de médiatrice. Une droite D est une médiatrice d'un segment AB lorsqu'elle passe par le milieu de ce segment et que PA=PB pour un autre point P de D. Deux droites sont perpendiculaires lorsque l'une est une médiatrice d'un segment contenu dans l'autre. Deux vecteurs sont perpendiculaires lorsqu'ils sont les directions de deux droites perpendiculaires.
Dès qu'un repère orthonormé est défini, le produit scalaire de deux vecteurs dont les coordonnées dans ce repère sont (v1, v2, v3) et (w1, w2, w3) est défini par :
v.w =def v1.w1 + v2.w2 + v3.w3
De cette façon tous les axiomes algébriques des espaces vectoriels euclidiens acquièrent un sens physique relatif aux positions des corps rigides.