Espace topologique

Sommaire

Principe

L'espace topologique est (presque) le type le plus générique d'espace sur lequel on peut travailler avec des fonctions continues. C'est utile en analyse, en géométrie...

Définition d'espace topologique

Il existe mille et une façons équivalentes d'approcher et de définir ce qu'est une topologie. La plus couramment utilisée est celle en terme d'ouverts:

Une topologie sur un ensemble E est une famille de sous-ensembles, contenant l'ensemble vide et E, stable par union quelconque, et par intersection finie. On appelle les éléments de cette famille des ouverts.
Les fermés d'une topologie sont les complémentaires des ouverts; en particulier, la famille des fermés est stable par intersection quelconque, et par union finie (et donc contient la partie vide et l'ensemble entier).
Un espace topologique est un ensemble muni d'une topologie.
On appelle voisinage d'un point toute partie de l'ensemble qui contient le point et un ouvert contenant le point.
L'adhérence d'une partie d'un espace topologique est l'intersection de tous les fermés la contenant. L'adhérence est un fermé puisqu'elle est intersection de fermés, et peut être vue comme « le plus petit fermé » contenant la partie.

Une autre façon de définir les espaces topologiques consiste à faire appel à la notion prétopologique d'adhérence : on définit une adhérence sur un ensemble E comme une application qui à toute partie de E associe une partie plus vaste, l'adhérence de la partie vide restant vide. Dans le cas où l'adhérence est idempotente et où l'adhérence de l'union de deux parties est égale à l'union des adhérences, on dit que l'adhérence est topologique. Un espace topologique se définit comme un ensemble muni d'une adhérence topologique. Les ouverts sont alors les complémentaires des parties stables pour l'adhérence.

Fonctions continues

L'intérêt fondamental de la notion d'espace topologique est de pouvoir définir ce qu'est une fonction continue.

Une fonction f : A → B entre deux espaces topologiques A et B est dite continue si l'image inverse $f - 1 (U)$ de tout ouvert U de B est un ouvert de A. (L'image inverse $f - 1 (U)$ est l'ensemble de tous les points de A que f envoie dans U.)

En termes d'adhérences, une fonction d'un espace dans un autre est continue si l'image d'un point adhérent à une partie est nécessairement adhérente à l'image de cette partie.

Propriétés

On dit qu'un espace vérifie la propriété de Borel-Lebesgue lorsque l'on peut extraire un sous-recouvrement fini de tout recouvrement ouvert. On parle aussi d'espace quasi-compact.
On dit qu'un espace est séparé ou de Hausdorff lorsque deux points quelconques admettent des voisinages disjoints.
Un espace quasi-compact et séparé est dit compact.

Exemples

Les espaces métriques et, en particulier les espaces vectoriels normés sont des espaces topologiques.
Il existe de nombreuses classes d'espaces topologiques (espaces vectoriels topologiques, espace de Banach, de Fréchet, de Hilbert, de Hausdorff, de Kolmogorov, de Montel, de Baire, compacts, quasi-compacts, précompacts, paracompacts, bien enchaînés, complets, connexes, simplement connexes, connexes par arcs, localement compacts, localement connexes, groupe topologique, anneau topologique etc.).