État quantique

Une différence fondamentale entre la mécanique classique et la mécanique quantique tient à la façon dont est décrit l'état d'un système physique. On a coutume de dire qu'un système quantique peut être dans plusieurs états à la fois.

Sommaire

1 La notion d'état en mécanique classique

2 La notion d'état en mécanique quantique

3 Interprétation probabiliste des états quantiques

4 Superposition d'états, intrication et paradoxe de la mesure

5 Voir aussi

La notion d'état en mécanique classique

En mécanique classique, le système le plus élémentaire est un point matériel de masse m. L'état de ce système est complètement décrit par la donnée du vecteur position $\vec{r_{M}}$ et de l'impulsion (ou quantité de mouvement) $\vec{p_{M}}=m.\vec{v_{M}}$ du point matériel. Autrement dit, l'état du système est repéré par un point dans un espace vectoriel de dimension 6 (3 pour le vecteur position et 3 pour le vecteur vitesse). Si l'on connait l'état du système à un instant donné, ainsi que les forces qui agissent sur lui par la suite, l'équation fondamentale de la dynamique nous permet de calculer l'état du système à un instant ultérieur.

Si l'on complique un peu le système en considérant non plus un mais N points matériels, l'état du système sera repéré par un point dans un espace vectoriel de dimension 6N, car il faut garder la trace de la position et de l'impulsion de chacun des N points matériels. Là encore, l'état d'un système à l'instant $t + τ$ peut se déduire de l'état du système à l'instant $t$ .

Si le système n'est plus composé de points matériels, mais d'un milieu continu, comme un fluide ou un solide déformable, l'état du système est décrit par un champ de déformation, un champ de densité massique et un champ de vecteurs vitesse. La dimension de l'espace des états est infinie.

La notion d'état en mécanique quantique

En mécanique quantique aussi, on représente l'état d'un système par un point dans un espace vectoriel, lequel est par postulat hilbertien et séparable, et dépend du système que l'on considère. On utilise souvent la notation bra-ket pour représenter les états quantiques de manière simple. L'analogue quantique du point matériel de la mécanique classique est une particule sans spin, et son espace des états est l'espace des fonctions de $\mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{C}$ à carré sommable. Lorsque l'on associe deux systèmes pour en faire un plus gros, l'espace des états de ce gros système est le produit tensoriel des espaces des états associés aux deux sous-systèmes.

On retrouve également le déterminisme de la mécanique classique, c'est-à-dire que l'on peut calculer comment l'état d'un système va évoluer au cours du temps (grâce à l'équation de Schrödinger), sauf lorsqu'il y a une mesure de l'état de notre système, auquel cas l'évolution n'est plus déterministe, mais probabiliste.

Il s'agit là d'une différence majeure avec la mécanique classique, qui découle du postulat de réduction du paquet d'onde et qui permet de donner une interprétation probabiliste aux états quantiques.

Interprétation probabiliste des états quantiques

Supposons qu'un système quantique se trouve dans un état $|\psi \rangle$ et que l'on veuille mesurer une observable $\hat{A}$ du système (énergie, position, spin, ...). Les vecteurs propres de $\hat{A}$ sont notés $|a_i \rangle$ et les valeurs propres correspondantes $α i$ , que l'on supposera non dégénérées pour simplifier. Comme le postule le principe de réduction du paquet d'onde, la mesure de A ne peut donner comme résultat que l'un des $α i$ , et la probabilité d'obtenir le résultat $α i$ est ${|\langle a_i|\psi \rangle|}^2$ . Supposons que la mesure donne pour résultat $α p$ , le système est passé lors de la mesure et de façon instantanée de l'état $|\psi \rangle$ à l'état $|a_p \rangle$ .

On voit dès lors l'interprétation que l'on peut faire des produits scalaires $\langle a|\psi \rangle$ , où $|a \rangle$ est un état quelconque : en effet, en supposant l'existence d'une observable dont $|a \rangle$ serait un des états propres, on peut dire que la probabilité de trouver le système dans l'état |a&nbsp> (sous-entendu : si on faisait la mesure) est ${|\langle a|\psi \rangle|}^2$ . Pour cette raison, le produit scalaire est appelé amplitude de probabilité.

Le fait que la mesure d'une des propriétés du système change l'état de ce système fait que l'on ne peut pas cloner l'état quantique inconnu d'un système. En effet, on pourrait penser qu'en prenant deux systèmes faits des mêmes atomes et en mesurant l'état dans lequel est le système 1, on peut ensuite placer le système 2 dans le même état que le système 1 et ainsi en avoir une copie conforme, mais il faudrait pour cela effectuer plusieurs mesures sur le système 1, dont l'état sera irrémédiablement changé dès la première mesure. Le théorème de non clonage est la base des techniques de cryptographie quantique. La téléportation quantique, quant à elle, cherche à transporter de façon destructive l'état du système 1 sur le système 2.

Superposition d'états, intrication et paradoxe de la mesure

Si |a&nbsp> et |b&nbsp> sont deux états possibles du système, i.e. appartiennent à l'espace des états, la définition d'un espace vectoriel fait que toute combinaison linéaire de ces états sera un état possible du système. Pour illustrer l'étrangeté de ces superpositions d'états, Erwin Schrödinger a avancé le paradoxe du chat de Schrödinger : que penser d'un chat que l'on aurait mis dans la superposition d'état

$\sqrt{2}/2 . | \textit{vivant} \rangle + \sqrt{2}/2 . | \textit{mort} \rangle$ &nbsp?

Est-ce le fait qu'il y ait un observateur présent pour tenter de faire une mesure qui réduit le paquet d'onde instantanément à un et un seul des résultats possibles de la mesure&nbsp? Quelle est la particularité qui fait qu'un système quantique n'obéisse plus à l'équation déterministe de Schrödinger lors de l'interaction avec un appareil de mesure (ou plus généralement avec un objet macroscopique)&nbsp?

Bref, le principe de réduction du paquet d'onde dérange et contribue beaucoup à la réputation de la mécanique quantique d'être contre-intuitive. Après avoir suivi l'école de Copenhague pendant des dizaines d'années, la majorité des physiciens pense aujourd'hui que l'intrication et la décohérence jouent un grand rôle dans l'explication du phénomène de réduction du paquet d'onde. Expérimentalement, il devient possible aujourd'hui de réaliser les expériences de pensée du début du XX^e siècle et des groupes de recherche tentent de réaliser de petits « chats de Schrödinger », c'est-à-dire des objets mésoscopiques placés dans une superposition d'états pour étudier leur évolution. Pour décrire l'état quantique d'un objet intriqué, l'approche présentée ici à partir de la notation bra-ket n'est pas suffisante, et il convient d'utiliser le formalisme de la matrice densité.

Voir aussi

Postulats de la mécanique quantique