Exponentielle

La fonction exponentielle est l'une des fonctions les plus importantes en mathématiques.

Sommaire

2.1 Définitions
2.2 Fonction exponentielle réelle
2.3 Fonction exponentielle dans le plan complexe
2.4 Fonction exponentielle et équation différentielle
2.5 Fonction exponentielle de matrices et sur une algèbre de Banach
2.6 L'application exponentielle sur les algèbres de Lie

Approche vulgarisée

Si a est un nombre réel et n est un nombre entier, alors l'« exponentielle de n en base a » est égale à « a puissance n » soit :

exp_a(n) = a × a × ... × a (n fois)

On peut étendre cette fonction aux nombres non entiers. On démontre alors que les exponentielles sont les fonctions réciproques des logarithmes log_a, et d'autre part que les fonctions trigonométriques peuvent s'exprimer de manière simple avec des exponentielles.

Ces fonctions se dérivent et s'intègrent de manière très simple, et interviennent dans de nombreuses solutions d'équations différentielles.

Il existe une base e telle que e^x est la fonction réciproque du logarithme népérien ln.

Définitions et propriétés

Définitions

On note la fonction exponentielle $\exp\,$ ou encore $x\mapsto e^x$ (où $e$ est la base naturelle des logarithmes), et cette fonction peut être définie de plusieurs façons équivalentes, l'une étant comme une somme de série et l'autre comme une limite :

$\exp(x) = \sum_{n = 0}^{\infty} {x^n \over n!}$

$\exp(x) = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + {x \over n} \right)^n$

Ici $n!$ est la factorielle de $n$ et $x$ représente n'importe quel nombre réel ou complexe. Dans tout espace vectoriel normé complet, la série précédente est normalement convergente, et on peut donc définir l'exponentielle d'un élément quelconque d'une algèbre de Banach ou encore d'un élément quelconque du corps des nombres p-adiques.

Fonction exponentielle réelle

Si x est réel, alors exp(x) est un réel strictement positif.

D'autre part la fonction exp de $\mathbb R$ dans $\mathbb R_+^*$ est strictement croissante et continue de plus $\lim_{x\rightarrow -\infty}\exp(x)=0$ et $\lim_{x\rightarrow +\infty}\exp(x)=+\infty$ , donc admet une application réciproque, qui est la fonction logarithme népérien ln, qui est définie sur $\mathbb R_+^*$ . (Pour définir l'exponentielle, une troisième approche, plus rare parce que limitative, mais qui ne nécessite pas les mêmes connaissances préalables, consiste à définir le logarithme népérien comme primitive de la fonction inverse, et l'exponentielle réelle comme l'inverse de la fonction logarithme népérien.)

La fonction exponentielle est dérivable et a pour dérivée exp, donc est indéfiniment dérivable. De plus exp est convexe.

Sa représentation graphique est la suivante :

Image manquante
Exponentielle.png
Image:exponentielle.png

En utilisant la fonction logarithme népérien ln, on peut définir pour tout $a > 0$ la fonction exponentielle de base a notée $\exp_a\,$ ou $x\mapsto a^x$ , par :

pour tout réel

x

, $a^x = \exp(\ln(a) x)\,$ .

La fonction exponentielle permet aussi de définir les fonctions trigonométriques avec les formules d'Euler et les fonctions hyperboliques. Ainsi nous voyons que toutes les fonctions élémentaires, à l'exception des fonctions polynomiales s'expriment à partir de la fonction exponentielle, sous une forme ou une autre.

Les fonctions exponentielles «transforment une addition en une multiplication», comme le montre l'une des propriétés suivantes de l'exponentielle :

$a^0 = 1\,$

$a^1 = a\,$

$a^{x + y} = a^x a^y\,$

$a^{x y} = \left( a^x \right)^y$

${1 \over a^x} = \left({1 \over a} \right)^x = a^{-x}$

$a^x b^x = (a b)^x\,$

Elles sont valables pour tous réels strictement positifs a et b et tous réels x.

Pour a réel strictement positif, $\exp_a\,$ est le seul morphisme monotone du groupe additif $\mathbb R$ dans le groupe multiplicatif $\mathbb R_+^*$ des réels strictement positifs vérifiant $\exp_a(1)=a\,$ .

Pour a=1, la fonction exponentielle est constante et égale à 1. Quand a ≠ 1, la fonction exponentielle est un isomorphisme du groupe additif $\mathbb R$ sur le groupe multiplicatif $\mathbb R_+^*$ ; strictement croissant si a>1 et strictement décroissant si a<1.

D'autre part, il est possible d'écrire des expressions faisant intervenir des quotients ou des racines en utilisant la notation exponentielle. Par exemple :

${1 \over a} = a^{-1}\,$

$\sqrt{a} = a^{1/2}\,$

$\sqrt[n]{a} = a^{1/n}\,$

Fonction exponentielle dans le plan complexe

Le développement en série de l'exponentielle permet d'étendre celle-ci au plan complexe.

$\exp(z) = \sum_{n = 0}^{\infty} {z^n \over n!}$

La fonction exponentielle vérifie alors les propriétés importantes suivantes :

pour tous z et w :

$\exp(z + w) = \exp(z) \exp(w)\,$

$\exp(0) = 1\,$

$\exp(z) \ne 0$

$\exp '(z) = \exp(z)\,\!$

La fonction exponentielle dans le plan complexe est une fonction holomorphe qui est périodique, de période imaginaire $2 \pi i\,$ et vérifie :

$\exp(a + bi) = \exp(a) \cdot (\cos(b) + i \sin(b))$

où $a$ et $b$ sont des nombres réels. Cette formule est le lien entre la fonction exponentielle et les fonctions trigonométriques, et c'est la raison pour laquelle prolonger le logarithme naturel à l'ensemble des nombres complexes, donne naturellement une fonction multiforme $z\mapsto \ln(z)$ .

On peut définir une exponentielle plus générale :

pour tous nombres complexes z et w, $z^w = \exp(\ln(z) w)\,$

C'est également une fonction multiforme. Les propriétés ci-dessus des exponentielles restent vraies à condition de les interpréter convenablement comme des relations entre fonctions multiformes.

Fonction exponentielle et équation différentielle

L'importance majeure des fonctions exponentielles en sciences, provient du fait qu'elle sont des multiples constants de leur propre dérivée. a étant un nombre réel ou complexe, on a :

${d \over dx} \lambda e^{ax} = a \lambda e^{ax}.$

ou plus exactement, on a $\varphi : x\mapsto \lambda e^{ax}$ si et seulement si

${d \varphi\over dx} = a \varphi.$ et $\varphi(0) = \lambda$

Si une grandeur croît ou décroît, en fonction du temps et que la vitesse de «sa course» est proportionnelle à «sa taille», comme dans le cas de la croissance d'une population, des intérêts composés continus ou de la décroissance radioactive, alors cette grandeur peut être exprimée comme une constante de fois une fonction exponentielle d'une constante de fois le temps.

La fonction exponentielle de base e est solution de l'équation différentielle élémentaire :

${dy \over dx} = y$

et on la rencontre fréquemment dans les solutions d'équations différentielles. En particulier, les solutions d'une équation différentielle linéaire peuvent être écrites à l'aide des fonctions exponentielles. On les trouve aussi dans les solutions des équations différentielles de Schrödinger, de Laplace ou dans l'équation différentielle du mouvement harmonique simple.

Fonction exponentielle de matrices et sur une algèbre de Banach

La définition de la fonction exponentielle exp donnée précédemment peut être utilisée sur toute algèbre de Banach, et en particulier sur l'ensemble des matrices carrées. Dans ce cas nous avons :

si $xy = yx\,$ alors $\exp(x + y) = \exp(x) \exp(y)\,$

$\exp(0) = 1\,$

$\exp(x)\,$ est inversible et a pour inverse $\exp(-x)\,$

La différentielle de l'exponentielle en un point x est l'application linéaire qui envoie u sur exp(x)·u.

Dans le cadre des algèbres non-commutatives, d'algèbres de matrices, d'opérateurs sur les espaces de Banach ou sur les espaces de Hilbert, la fonction exponentielle est souvent considérée comme une fonction d'une variable réelle:

$f(t) = \exp(t A)\,$

où $A$ est un élément fixé de l'algèbre et $t$ un réel quelconque. Cette fonction a les propriétés importantes :

$f(s + t) = f(s) f(t)\,$

$f(0) = 1\,$

$f'(t) = A f(t)\,$

L'application exponentielle sur les algèbres de Lie

L'application exponentielle envoie une algèbre de Lie sur le groupe de Lie de l'algèbre. Cela implique qu'elle partage les propriétés mentionnées ci-dessus. En fait, puisque $\mathbb R$ est l'algèbre de Lie du groupe de Lie de tous les nombres réels strictement positifs avec la multiplication, la fonction exponentielle ordinaire de variable réelle est un cas particulier de la fonction exponentielle d'une algèbre de Lie. De même, puisque l'algèbre de Lie M (n, R) de toutes les matrices carrées réelles est issue du groupe de Lie des matrices carrées inversibles, la fonction exponentielle pour les matrices carrées est un cas particulier de la fonction exponentielle sur une algèbre de Lie.