Extension de corps
Par exemple, 
, le corps des nombres complexes, est une extension de 
, le corps des nombres réels, lequel est lui-même un extension de 
, le corps des nombres rationnels.
On note parfois L / K pour indiquer que L est une extension de K.
Plus généralement, une extension de K est un couple de corps distincts K * et L où K * est un sous-ensemble de L et K est isomorphe à K * . Lorsqu'aucune ambiguité ne se pose, on identifie K à K * .
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Degré d'une extension
Soit L / K une extension de corps. L peut être considéré comme un espace vectoriel sur K, où l'addition vectorielle est l'addition sur L et la multiplication scalaire est la restriction de la multiplication à L.
La dimension de cet espace vectoriel est appelée le degré de l'extension et est notée ![\left[L:K\right]](/img/math/504685910e4ffadfcb54ee5281e32f86.png)
. L'extension est dite « finie » ou « infinie » selon que le degré est fini ou non. Par exemple, ![\left[\mathbb C:\R\right]=2](/img/math/1f818638be0c2154fa460b0424f7fc23.png)
et l'extension 
est donc finie. Par contre, ![\left[\R:\mathbb Q\right]=\aleph_1](/img/math/78e3af265d7e2cd31f9ffca4fb13fdfd.png)
, le cardinal du continu, et l'extension Erreur math (fonction inconnue\Q): \mathbb R / \Q
est donc infinie.
Si M est une extension de L qui est elle-même une extension de K, alors ![\left[M:K\right]=\left[M:L\right]\cdot \left[L:K\right]](/img/math/767e79f8b40f584c8741faf769969661.png)
.
Extension algébrique
Article détaillé : Extension algébrique
Si L est une extension de L, alors un élément de L qui est une racine d'un polynôme non-nul sur K est dit algébrique sur K. Dans le cas contraire, l'élément est dit transcendant sur K. Dans le cas où 
et 
, on parle de nombre algébrique et de nombre transcendant.
Si tout élément de L est algébrique sur K, l'extension L / K est dite algébrique. Dans le cas contraire, elle est dite transcendante. Si tout élément de L est transcendant sur K, l'extension est dite purement transcendante.
On peut montrer qu'une extension est algébrique si et seulement si elle est l'union de ses sous-extensions finies. En particulier, tout extension finie est algébrique. par exemple, , finie, est algébrique, mais 
est transcendante.
Extension simple
Si L / K est une extension de corps et V est un sous-ensemble de L, alors on définit le corps K(V) comme le plus petit sous-corps de L qui contient K et V. Il est consitué des éléments de L pouvant être obtenus gràce à un nombre limité d'opérations additives et multiplicatives sur K et V. Si L = K(V), on dit que L est généré par V.
Une extension de corps générée par un seul élément est appelée extension simple. Une telle extension est finie si elle est générée par un élément algébrique et purement transcendante si elle est générée par un élément transcendant.
Par exemple, est une extension simple de car elle est générée par i, l'unité imaginaire. L'extension , n'étant ni finie, ni purement transcendante, n'est pas simple.
Extension de Galois
Une extension de corps possédant un groupe de Galois est appelée extension de Galois. Si le groupe de Galois est abélien, l'extension est nommée extension abélienne.
Par exemple, est une extension abélienne, son groupe de Galois étant d'ordre 2. En revanche, n'est pas une extension de Galois car le seul automorphisme de corps de est l'identité.