Flocon de Koch
- Pour les articles homonymes, voir Koch. Image manquante
Logo_Begriffsklärung.png
La courbe de Koch est l'une des premières courbes fractales à avoir été décrite, apparaissant en 1906 sur un papier intitulé « Une méthode géométrique élémentaire pour l'étude de certaines questions de la théorie des courbes planes » écrit par le mathématicien suédois Helge von Koch (1870 - 1924)[1].
Vous pouvez la créer à partir d'un segment de droite, en modifiant récursivement chaque segment de droite de la façon suivante :
Droite_Koch.png
- on divise le segment de droite en trois segments de longueurs égales,
- on dessine un triangle équilatéral qui a pour base le segment du milieu de la première étape,
- on supprime le segment de droite qui était la base du triangle de la deuxième étape.
Flocon_de_Koch.png
Au bout des ces trois étapes, l'objet résultant a une forme similaire à une coupe transversale d'un chapeau de sorcière.
La courbe de Koch est la limite des courbes obtenues, lorsque vous suivez les étapes mentionnées ci-dessus, maintes et maintes fois encore.
La courbe de Koch a une longueur infinie parce qu'à chaque fois vous appliquez les modifications ci-dessus sur chaque segment de droite, la longueur de votre courbe augmente d'un tiers.
Cependant, elle a une surface finie. En réalité, une extension de la notion de dimension permet de préciser que cette courbe a une dimension fractale (non entière) de d=ln(4)/ln(3)=1,26.
Le flocon de Koch s'obtient de la même façon que le fractal précédent en partant d'un triangle équilatéral, au lieu d'un segment de droite, et en opérant les modifications en orientant les triangles vers l'extérieur. On peut aussi partir d'un hexagone, et opérer en orientant les triangles vers l'intérieur. Dans les deux cas, après quelques itérations on obtient une forme évoquant un flocon de neige régulier.
liens externes
- Plus dinformations et d'images (en anglais)
- [1] Biographie de von Koch (en anglais)