Fonction logistique
En mathématiques, la fonction logistique est une fonction polynômiale, souvent citée comme exemple de la complexité pouvant surgir de simples équations non-linéaires. Cette fonction fut popularisée par le biologiste Robert May en 1976. Le modèle logistique fut introduit à la base en tant que modèle démographique par Pierre François Verhulst. On considère l’évolution de la population d’une espèce, en présence de facteurs limitants, en considérant que :
- l’espèce se reproduit à un taux proportionnel à la population.
- elle décroît (famine) à un taux proportionnel à la différence entre une capacité limite de l’environnement et la population.
Mathématiquement, celà peut se traduire par :
- xn + 1 = μxn(1 − xn)
où xn est un nombre entre 0 et 1 représentant la population à l’année n (x0 étant la population initiale) et µ étant un nombre positif, représentant le taux combiné de reproduction et de famine.
Comportement selon µ
En faisant varier le paramètre µ, plusieurs comportements différents sont observés :
- Si 0≤µ≤1, l’espèce finira par mourir, quelle que soit la population de départ.
- Si 1≤µ≤2, la population finit par se stabiliser autour de la valeur
, quelle que soit la population initiale.
- Si 2≤µ≤3, elle finit également par se stabiliser autour de après avoir oscillé autour pendant quelque temps. La vitesse de convergence est linéaire, sauf pour µ=3 où elle est très lente.
- Si 3<µ≤1+√6 (environ 3,45), elle finit par osciller entre deux valeurs, dépendantes de µ, mais pas de la population initiale.
- Si 3,45<µ<3,54 (environ), elle finit par osciller entre quatre valeurs, là encore dépendantes de µ mais pas de la population initiale.
- Si µ est légèrement plus grand que 3,54, la population finit par osciller entre huit valeurs, puis 16, 32, etc. L’intervalle des valeurs de µ conduisant au même nombre d’oscillations décroît rapidement. Le rapport entre deux de ces intervalles consécutifs se rapproche à chaque fois de la constante de Feigenbaum, δ = 4,669…. Aucun de ces comportements ne dépend de la population initiale
- Vers µ = 3,57, le chaos s’installe. Aucune oscillation n’est encore visible et de légères variations de la population initiale conduisent à des résultats radicalement différents.
- La plupart des valeurs au-delà de 3,57 présentent un caractère chaotique, mais il existe quelques valeurs isolées de µ avec un comportement qui ne l’est pas. Par exemple vers 3,82, un petit intervalle de valeurs de µ présente une oscillation entre trois valeurs et pour µ légèrement plus grand, entre six valeurs, puis douze, etc. D’autres intervalles offrent des oscillations entre 5 valeurs, etc. Toutes les périodes d’oscillation sont présentes, là encore indépendamment de la population initiale.
- Au delà de µ=4, la population quite l’intervalle [0;1] et diverge quasiment pour toutes les valeurs initiales.
Un diagramme de bifurcation permet de résumer tout celà :
Image manquante
Diagramme_de_bifurcation.png
Diagramme de bifurcation de la fonction logistique
L’axe horizontal porte les valeurs de µ, tandis que l’axe vertical montre les valeurs limites possibles.