Gamme pythagoricienne

Cet article expose en détail la théorie de la gamme pythagoricienne - construite sur le cycle des quintes. Pour une présentation simplifiée et de synthèse, voir l'article Gammes et tempéraments qui donne aussi une vue d'ensemble des gammes de la musique occidentale classique.

Sommaire

1 Voir aussi

Observations préliminaires sur les intervalles

Dans toute la suite, on parlera d’intervalles entre deux notes de deux façons différentes

L'intervalle d'une octave est de 2 car la fréquence de la note la plus aigüe est deux fois plus grande que celle de la note la plus grave. En jouant ensemble ces deux notes, on obtient un son très harmonique, une des notes se fondant dans l'autre. On dit que l'octave est neutre car elle ne génère pas de différence, à tel point que l'on prend l'habitude de donner le même nom à deux notes séparées d'une octave.

L'intervalle de la quinte est 3/2 car la fréquence de la note la plus aigüe est égale à la fréquence de la note la plus basse multipliée par 1,5. C'est cet intervalle qui nous intéresse particulièrement dans la gamme pythagoricienne.

L'intervalle de la quarte est de 4/3 ; la quarte est le complément de la quinte par rapport à l'octave - on dit aussi son « renversement ».

L'intervalle de la tierce appelée aussi diton est de 34/26 car la fréquence de la note la plus aigüe est égale à la fréquence de la note la plus basse multipliée par 34/26. On verra dans la partie mathématique la raison de ce rapport.

L'intervalle séparant la note la plus haute de la quarte et la note la plus haute de la tierce est appelé limma et vaut :

\frac{4/3}{\frac{3^4}{2^6}} = \frac{2^8}{3^5}.

Pour comprendre le principe de cette gamme, il suffit de se placer devant un piano et de partir du do le plus à gauche et d'avancer de quinte en quinte (il suffit de se déplacer de 7 touches en comptant les touches noires). On obtient successivement un sol, un , un la, un mi, un si, un fa#, un do#, un sol#, un ré# , un la#, un fa et ...un do ! Au bout de 12 quintes, on retombe sur un do situé 7 octaves plus loin. Ce qui fait dire que 12 quintes valent 7 octaves. Mais le piano triche (voir gamme tempérée). La partie mathématique de cet article prouve l'impossibilité de cette égalité.

En avançant de quinte en quinte, on ne peut pas tomber sur 7 octaves à moins de raccourcir la dernière quinte dite « quinte du loup »

Généralités et historique

Une gamme pythagoricienne est toute gamme (ou échelle) musicale fondée uniquement sur des intervalles d'octaves et de quintes acoustiquement justes (ou purs) (sauf une) - les quartes, renversement des quintes, le sont alors aussi. Une propriété importante - et même fondatrice - d'une telle gamme est que douze quintes équivalent « presque » à sept octaves : on va considérer que ces intervalles sont équivalents. Toutefois il y a un écart résiduel que l'on appelle « comma pythagoricien ».

Historiquement, les premières traces d'une construction musicale en octaves et quintes justes remontent à l'antiquité chinoise. L'attribution en Occident de ce type de construction à Pythagore semble remonter au Moyen Âge alors qu'il ne semble pas avoir contribué directement à l'établissement d'une telle échelle. Il ne fait que fonder une pensée, qui tente d'englober tous les phéonomènes de l'univers, basée sur les quatre premiers nombres : 1, 2, 3 et 4. En effet, ces quatre nombres simples forment les rapports des intervalles d'octave (2/1), de quinte (3/2) et de quarte (4/3).

Mais la théorisation de la gamme heptatonique par l'école des pythagoriciens est antérieure de deux siècles aux contacts, d'ailleurs très indirects, entre les mondes méditerranéen et chinois qui ont pu suivre les conquêtes d'Alexandre le Grand. Ainsi, il est presque certain qu'elle s'est faite sans référence au précédent chinois, qui a d'ailleurs donné naissance à une musique pentatonique très différente.

Une propriété de la « gamme pythagoricienne » est l'intervalle de « diton » (deux tons « justes » successifs : 9/8x9/8) inférieur à une quarte. Le diton forme l'intervalle appelé « tierce pythagoricienne ». Il diffère d'une quarte de l'intervalle de « limma » (litt. « le reste »). C'est chez Platon (La République) que nous retrouvons les termes du rapport du « limma » (256/243); aucun texte de Pythagore ne nous est parvenu.

A travers la période troublée des invasions barbares, la continuité de la tradition musicale grecque antique a été assurée en Europe, entre autres, par les chants de la liturgie chrétienne - le chant grégorien prenant sa source dès le VIIe siècle sous l'impulsion du pape Grégoire le Grand.

Parallèlement au développement de cette échelle dans la culture occidentale, nous la trouvons aussi dans les écrits arabes, notamment chez Ikhwān al-Ṣafā (« les frères de la pureté ») et al-Kindī.

La gamme pythagoricienne a été progressivement délaissée au bas Moyen-Âge lorsqu'on a commencé à considérer comme consonnant l'intervalle de tierce.

L'approche de la construction de la gamme pythagoricienne peut se faire sur des considérations d'acoustique ou de mathématiques.

Construction par l'acoustique

L'oreille permet, de façon intuitive et très précise (par l'absence de battements), d'identifier un intervalle d'octave ou de quinte.

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Comma_ditonique.PNG
Cycle des quintes et comma pythagoricien

Partant d'une note quelconque et suffisamment basse, on détermine sa quinte puis la quinte de la note obtenue, de façon réitérée. Si on répète ce processus 12 fois, on s'aperçoit que la note finale est « pour ainsi dire » la septième octave de la note de départ. C'est ce que l'on appelle le « cycle des quintes » c'est-à-dire que 12 quintes équivalent à peu près à 7 octaves. En fait il y a un faible écart entre ces deux intervalles, qu'on appelle le « comma pythagoricien » (voir schéma).

Ces constatations sont à la base de la gamme « pythagoricienne ». On peut recommencer le processus, en abaissant les notes successives obtenues d'une octave lorsque l'intervalle de quinte nous fait sortir de la première octave : lorsqu'on aura monté 12 intervalles de quintes, on aura dû abaisser 7 fois d'une octave pour retrouver, au comma pythagoricien près, la note initiale. On aura, ce faisant, remarqué que les notes successives obtenues se répartissent à peu près uniformément dans l'intervalle d'une octave. Nous aurons ainsi construit la « gamme pythagoricienne » à 12 intervalles, donc douze notes, compris dans l'octave. La conservation d'une octave pure est considérée par de nombreux musiciens comme incontournable : La dernière quinte de notre cycle (ou une autre quelconque) devra donc être conservée légèrement différente des autres, et sera relativement fausse : on l'appelle la « quinte du loup » ; elle donnera lieu aux différents « tempéraments » qui ont pour but d'en atténuer au maximum les inconvénients.

Le schéma ci-dessous montre comment une montée par quintes successives à partir de do fait parcourir toutes les notes de la gamme chromatique avant de retrouver le do à l'octave. On abaisse la note obtenue d'une octave chaque fois qu'on « sort » de l'octave (marquée en bleu ciel).

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Construire_la_gamme_de_Pythagore.PNG
Image:Construire la gamme de Pythagore.PNG

Construction par les mathématiques

En reprenant l'exemple du préliminaire, on peut construire la suite des 12 premières quintes qui nous donnent 12 notes que nous appellerons par commodité b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m en partant de la note de base nommée « a ». (NB. ces lettres n'ont aucun rapport avec les notations anglo-saxonnes).

Ces 12 notes sont présentées dans le tableau ci-dessous, avec leur écart avec la note de départ (a).

note a b c d e f g h i j k l m
écart 1 3/2 32/22 33/23 34/24 35/25 36/26 37/27 38/28 39/29 310/210 311/211 312/212

Le calcul du dernier écart donne environ 129,746 alors que l'écart de 7 octaves donne exactement 27 = 128. Les deux écarts sont différents. Les notes obtenues ont à un écart relatif de

\frac{3^{12}}{2^{12}}/2^7 =\frac{3^{12}}{2^{19}} \approx 1,013 .

Soit une différence de 1,3%. Cet écart s'appelle le comma pythagoricien. Il est audible par les musiciens possédant une bonne oreille musicale. Pour retomber sur 7 octaves justes, il est nécessaire de réduire une quinte (par exemple la dernière) : au lieu de prendre un écart de 3/2, on prend un écart de

\frac{2^7}{\frac{3^{11}}{2^{11}}}=\frac{2^{18}}{3^{11}}\approx 1,480

Un des reproches que l'on peut faire à cette suite de note c'est qu'elle laisse de grands « trous » puisqu'on avance de quinte en quinte. Mais nous avons aussi remarqué que deux notes séparées d'une octave portent le même nom. Il suffit donc d'abaisser toutes ces notes du nombre d'octaves suffisant pour qu'elles se retrouvent toutes dans la même octave. Il faut pour cela diviser leur fréquence par une puissance de 2.

En effectuant cette opération et en ordonnant les notes par leur écart croissant, nous obtenons le tableau suivant

note a h c j e l g b i d k f m
écart 1 37/211 32/23 39/214 34/26 311/217 36/29 3/2 38/212 33/24 310/215 35/27 2

On obtient ainsi les 12 notes de notre gamme. On peut s'intéresser à l'intervalle entre deux notes consécutives. Il suffit pour cela de faire le rapport de leurs fréquences. Nous obtenons alors le tableau suivant

note a h c j e l g b i d k f m
écart 1 37/211 32/23 39/214 34/26 311/217 36/29 3/2 38/212 33/24 310/215 35/27 2
diff ... 37/211 28/35 37/211 28/35 37/211 28/35 28/35 37/211 28/35 37/211 28/35 28/35

On constate, et ce fait est remarquable, que l'on n'obtient que deux valeurs possibles pour les écarts

on peut calculer que l'apotome est supérieur au limma d'un comma pythagoricien

L'intervalle entre la note a et la note c étant le ton majeur, celui-ci égale un apotome + un limma : les « demi-tons » dans la gamme pythagoricienne ne sont donc pas de même valeur !

Mais cette gamme offre un autre désavantage, l'écart renversé de la quinte (qui devrait être la quarte) n'apparait pas dans la liste (écart de 4/3) . L'écart qui s'en approche le plus (d'un comma) est 311/217. On remplace donc cet écart par l'écart 4/3. Cela revient en fait à redonner à la dernière quinte [l;m] sa taille réelle et à déplacer la quinte du loup à l'avant dernière position [k:l]

On obtient alors le tableau suivant où la dernière ligne a aussi changé. Pour plus de lisibilité, on remplacera les écarts entre deux notes consécutives par la lettre A pour apotome et L pour limma.

note a h c j e l' g b i d k f m
écart 1 37/211 32/23 39/214 34/26 4/3 36/29. 3/2 38/212 33/24 310/215 35/27 2
diff ... A L A L L A L A L A L L

Il ne reste plus qu'à nommer les notes, soit 7 noms simples pour les fractions les plus simples (celles dont le numérateur et le dénominateur sont les plus petits) et 5 noms « altérés » pour les fractions les plus complexes (qui sont les dernières obtenues dans notre cycle des quintes). Les sept premières notes (notes « naturelles ») divisent l'octave en sept intervalles inégaux : il s'agit de la gamme heptatonique. Les notes altérées permettent d'obtenir des intervalles plus fins et presque égaux entre eux : il s'agit de la gamme chromatique.

Cece donne pour la gamme de do

note a h c j e l' g b' i d k f m
écart 1 37/211 32/23 39/214 34/26 4/3 36/29. 3/2 38/212 33/24 310/215 35/27 2
diff ... A L A L L A L A L A L L
nom do do# ré# mi fa fa# sol sol# la la# si do

On remarque alors que les écarts d'un apotome se produisent quand on conserve la même note et qu'on l'altère: on appelle cet écart un demi-ton chromatique.

On remarque d'autre part que les écarts d'un limma apparaissent entre deux notes ne portant pas le même nom: on appelle cet écart un demi-ton diatonique.

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Quinte_du_loup.PNG
Placement de la quinte du loup

Le procédé ci-dessus est théorique. Dans la pratique - si tant est qu'on accorde encore des instruments à sons fixes selon la gamme de Pythagore - on s'arrange pour placer la « quinte du loup » sur un intervalle inusité où elle ne risque pas de se manifester - en général : SOL#-MIb. À noter que les intervalles « enjambant » la quinte du loup sont eux-mêmes faux et à éviter.

Le bémol

On a remarqué que la gamme qui vient d'être construite ne comporte que des notes diésées.
De DO à DO# : 1 apotome (1/2 ton chromatique)
De DO# à RÉ : 1 limma (1/2 ton diatonique)
De DO à RÉ : 1 ton majeur

On peut définir, en inversant l'ordre de l'apotome et du limma dans le ton majeur DO-RÉ, une nouvelle note intermédiaire, RÉ\flat telle que
De DO à RÉ\flat : 1 limma (1/2 ton diatonique)
De RÉ\flat à RÉ : 1 apotome (1/2 ton chromatique)
De DO à RÉ : 1 ton majeur

Les notes avec bémol s'obtiennent, en partant de DO, par quintes descendantes successives (au contraire des dièses, par quintes ascendantes). On a ainsi, dans l'ordre :
DO - FA - SI\flat - MI\flat - LA\flat - RÉ\flat - SOL\flat - DO\flat - FA\flat - SI\flat\flat - MI\flat\flat - LA\flat\flat - RÉ\flat\flat

A partir de DO\flat (assimilé à SI) les notes obtenues s'assimilent aux notes diatoniques au comma près:
FA\flat = MI
SI\flat\flat = LA
MI\flat\flat = RE
LA\flat\flat = SOL
\flat\flat = DO

Les notes bémolisées sont inférieures d'un comma pythagoricien à leurs notes enharmoniques diésées (par exemple RÉ\flat et DO\sharp). Attention : ceci ne vaut que pour la gamme de Pythagore.

L'alchimie des chiffres dans la gamme pythagoricienne

En reprenant la gamme construite précédemment et en faisant l'inventaire des écarts, on avait obtenu le tableau suivant

nom do do# ré# mi fa fa# sol sol# la la# si do
diff ... A L A L L A L A L A L L

Les observations précédentes permettent d'affirmer que

on retrouve alors la relation entre 7 octaves et 12 quintes :

12 quintes - 7 octaves = 36 apotomes + 48 limmas - 35 apotomes - 49 limmas
12 quintes - 7 octaves = un apotome - un limma = un comma

On conçoit sans peine que les mathématiciens de l'Antiquité, au vu de ces relations quelque peu magiques, prêtassent à la musique une origine divine. Plus près de nous, Rameau avait même dans l'idée que la musique était la base des mathématiques.

Pour ceux que rebuteraient (on les comprend) les calculs de puissances de 2 et 3, le schéma ci-dessous résume les relations entre les différents intervalles de la gamme de Pythagore (remarquer le décalage de MI b et SI b) :

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Apotome_&_limma.png


Tableau de synthèse : notes, intervalles, fréquences



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Gamme_de_Pythagore.PNG


1 ton vaut-il 9 commas ?

Le tableau ci-dessous présente les écarts de fréquences (en valeur approchée) selon le nombre de commas

nb de commas 1 2 3 4 5 6 7 8 9
écart 1,013 1,027 1,041 1,056 1,070 1,085 1,100 1,115 1,130

Sachant qu'un ton vaut exactement 9/8 soit 1,125, on voit qu'il y a entre 8 et 9 commas dans un ton (on prendra donc 9 commas)

Sachant qu'un apotome vaut exactement 37/211 soit environ 1,068, on voit que l'on peut raisonnablement dire qu'il y a 5 commas dans un apotome.

Enfin, sachant qu'un limma vaut exactement 28/35 soit environ 1,053, on voit que l'on peut considérer qu'un limma vaut 4 commas.


C'est pourquoi on considère souvent que l'octave vaut 53 commas : cette égalité n'est toutefois qu'une approximation (car élever le nombre 312/219 à la puissance 53 ne peut évidemment donner 2 pour résultat exact).

Cette approximation est à la base de l'affirmation générale selon laquelle :

  1. un demi-ton diatonique vaut 4 commas ;
  2. un demi-ton chromatique vaut 5 commas ;
  3. un ton vaut 9 commas.

On aura compris qu'implicitement, le comma dont il est question est le comma pythagoricien et qu'il ne s'agit pas de valeurs exactes.

Voir aussi

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Notes_musique.png


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