Gradient

$\Delta=\nabla^2$

$=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}$
article d' analyse vectorielle

Équation aux dérivées partielles

Electrostatique

Opérateurs

Gradient

en théorie physique

groupe

physique mathématique

Modèle standard (physique)

Le gradient est une grandeur vectorielle qui indique comment une grandeur physique varie en fonction de ses différents paramètres.

La façon francophone d'écrire cet opérateur de base du calcul est vectoriel: $\overrightarrow{{grad}} ( ... )$ mais les pays anglosaxon lui prèfèrent la notation : $\overrightarrow{\nabla(... )}$ .

Avant d'en donner une définition mathématique , il est peut-être bon d'en faire une approche pragmatique à l'aide de quelques exemples.

Sommaire

1 Le gradient de température

1.1 Gradient dans une seule direction
1.2 Gradient de température dans trois directions

2 Variation de l'aire d'un rectangle

3 Définition mathématique

4 Voir aussi

Le gradient de température

Gradient dans une seule direction

Imaginons que nous mesurions la température d'un solide, d'un liquide, d'un gaz dans une seule direction (hauteur, longueur, épaisseur). Il s'avère que la température T dépend de l'endroit x où elle est prise . On définit alors une fonction T(x). On peut chercher , pour une petite variation de x (dx), quelle serait la variation de température (dT). Celle ci s'écrit $d T = T (x + d x) - T (x)$ .

Si on cherche à quelle variation moyenne cela correspond, il faut calculer

$\frac{dT}{dx} = \frac{T(x + dx) - T(x)}{dx}$ .

C'est ce qu'on appelle communément le gradient de température.

De manière très pragmatique, on peut imaginer que la température est une fonction linéaire du déplacement, alors le gradient de température devient tout simplement la variation moyenne de température en fonction du déplacement

$\frac{\Delta T}{\Delta x}$

Mais certains reconnaitront là le taux d'accroissement de la température T en fonction du déplacement et pourront remarquer que, pour dx « très petit », ce quotient se rapproche de la dérivée de la température en fonction du temps, dérivée notée en mathématique T'(x) et en physique $\frac{dT}{dx}$ . On appelle alors gradient de température cette dérivée.

Gradient de température dans trois directions

En réalité, la température varie en fonction d'un déplacement dans l'espace donc en fonction de x, y et z. Il s'agit alors d'une fonction T dépendant de trois variables x, y, z. Un déplacement dans une des trois directions, induit une variation de température que l'on peut comme précédemment, quantifier par

$\frac{\partial T}{\partial x}$ , $\frac{\partial T}{\partial y}$ , $\frac{\partial T}{\partial y}$ . On crée alors un vecteur

$\overrightarrow{grad}(T) =\overrightarrow{ \nabla}(T)= (\frac{\partial T}{dx}, \frac{\partial T}{\partial y}, \frac{\partial T}{\partial z})$

de nouveau appelé gradient de température.

Bilan : nous étions partis d'une fonction de $\mathbb{R}^3$ dans $\mathbb{R}$ et nous aboutissons à une fonction vectorielle de $\mathbb{R}^3$ dans $\mathbb{R} ^3$ .

Connaissant la température à l'endroit $(x 0, y 0, z 0)$ , il est possible de déterminer la température en un point $(x 0 + d x, y 0 + d y, z 0 + d z)$

$T(x_0 + dx,y_0 + dy,z_0 + dz) = T((x_0,y_0,z_0) + \frac{dT}{dx}.dx + \frac{dT}{dy}.dy + \frac{dT}{dz}.dz$

En écriture condensée, cela donne

$T(\vec{v}+d\vec{v}) = T(v) + \overrightarrow{grad}(T) (\vec{v})\cdot d\vec{v}$

où le point représente le produit scalaire des deux vecteurs

Variation de l'aire d'un rectangle

Considérons dans le plan (xOy) un rectangle de côté x et y. Sa surface est égale à xy et dépend des coordonnées x et y du point M. Imaginons que l'on déplace le point M un tout petit peu 'de façon infinitésimale, la surface va changer et on peut écrire que : S+dS=(x+dx).(y+dy)=x.y +x.dy+y.dx + dx.dy on en déduit facilement que dS= y.dx+x.dy+dx.dy Une simple application numérique où x et y seraient des mètres et dx et dy 1cm montre que dx.dy est négligeable 'du second ordre'.

On écrit donc:

$dS=(x+dx).(y+dy)-x.y =y.dx + x.dy = (y,x)\cdot(dx,dy)=\overrightarrow\nabla S\cdot\overrightarrow{dOM}$

$\overrightarrow\nabla S\cdot\overrightarrow{dOM}= (y\vec i +x \vec j )\cdot (dx\vec i+ dy \vec j)=\left(\frac{\partial(xy)}{\partial x}\vec i +\frac{\partial(xy)}{\partial y}\vec j \right)\cdot (dx\vec i+ dy \vec j)$

Toutes ces égalités sont différentes façon d'écrire...un produit scalaire de deux vecteurs:

$dS=(x+dx).(y+dy)-x.y =y.dx + x.dy =\mathrm \overrightarrow{\mathrm{grad}} (xy) \cdot \overrightarrow{dOM} = \overrightarrow\nabla (xy )\cdot\overrightarrow{dOM}$ où $\overrightarrow{\mathrm{grad}}(xy)=(y,x)$

L'intérêt de l'introduction de ces vecteurs pour exprimer la variation d'une fonction de plusieurs paramètres est de visualiser le fait que la fonction va varier le plus dans la direction du vecteur gradient et que elle ne va pas varier pour tout changement des paramètres dans une direction perpendiculaire au gradient.

$(y\vec i +x \vec j )\cdot (dx\vec i+ dy \vec j))=0$ pour :

y d x + x d y = 0

dans notre exemple du rectangle.

Image manquante
Gradientsurface.png
tracé du gradient e surface et d'une courbe d'"isosurface

Ceci donnera en électrostatique les courbes de même potentiel:les 'équipotentielles'.

Le développement et l'utilisation du calcul infinitésimal a eu des conséquences importantes dans pratiquement tous les domaines. Il est à la base de beaucoup de sciences, notamment la physique. Presque toutes les techniques et technologies modernes font un usage fondamental du calcul infinitésimal.

Le calcul infinitésimal s'est étendu avec les équations différentielles, le calcul vectoriel, le calcul des variations, l'analyse complexe, ou la géométrie différentielle.

Définition mathématique

Si f est une fonction de $\mathbb{R}^3$ dans $\mathbb{R}$ différentiable au point a, on appelle gradient de f, le vecteur

$\overrightarrow{\mathrm{grad}} f = \vec\nabla f = \begin{pmatrix} \frac{\partial f}{\partial x} \\ \frac{\partial f}{\partial y} \\ \frac{\partial f}{\partial z} \end{pmatrix}.$

Il est fréquent en mathématiques d'appeller une telle fonction un champ scalaire, le gradient devenant un champ de vecteur.

Cette définition se généralise à toute fonction f continuement différentiable d'un espace vectoriel E dans son corps K. Le gradient de f en a est alors défini comme le vecteur $\overrightarrow{\mathrm{grad}}(f)(a)$ tel que

$f(a + da) - f(a) = \overrightarrow{\mathrm{grad}}(f)(a) .da$

Voir aussi

Analyse vectorielle