Groupe simple
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En mathématiques, un groupe simple est un groupe qui ne possède pas de sous-groupe distingué autre que trivial.
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Définition
Soit (G, * ) un groupe. On dit qu'il s'agit d'un groupe simple s'il n'a pas de sous-groupe distingué mis à part ({e}, * ) (e étant l’élément neutre du groupe) et (G, * ) lui-même.
Exemples
Quelques exemples de groupes simples :
- Les groupes de Lie
- Les groupes cycliques d'ordre premier.
- Les groupes sporadiques
Intérêt
Le terme « simple » signifie que de tels groupes ne sont pas, en quelque sorte, « réductibles » à un groupe plus maniable. L'intérêt d'un sous-groupe distingué non trivial H d'un groupe G est souvent de permettre la construction du groupe quotient G / H. L'étude de G se ramène alors à celle de H et de G / H. Cette construction n'est pas possible pour un groupe simple et on ne peut donc pas ramener son étude à celle d'un groupe quotient de cardinal plus petit que lui.
Les groupes simples finis sont importants car il peuvent être perçus comme les briques de base de tous les groupes finis, de la même façon que tous les nombres entiers peuvent être décomposés en produit de nombres premiers.
Les seuls groupes simples abéliens sont les groupes cycliques d’ordre premier. La classification des groupes simples finis fut achevée en 1982.
Voir aussi
- Classification des groupes simples finis
- Théorème de Jordan-Hölder