Hypothèse du continu

Sommaire

2 Indécidabilité de l'hypothèse du continu

2.1 Travaux de Gödel
2.2 Travaux de Cohen

3 Généralisation de l'hypothèse du continu

Définition de l'hypothèse du continu

On définit $\aleph_0$ (aleph zéro) comme le cardinal de $\mathbb{N}$ . Soit $\aleph$ le cardinal de $\mathbb{R}$ noté usuellement $2^{\aleph_0}$ .
Soit $\aleph_1$ le plus petit cardinal strictement supérieur à $\aleph_0$ , l'hypothèse du continu déclare que $\aleph = \aleph_1$ . En d'autres termes, cela signifie qu'il n'existe pas d'ensemble infini dont le cardinal serait strictement compris entre le cardinal de $\mathbb{N}$ et celui de $\mathbb{R}$ . On passe donc du dénombrable (ou discret), au continu, en faisant un seul bond.

Indécidabilité de l'hypothèse du continu

Travaux de Gödel

Kurt Gödel a montré en 1938 que l'ajout de l'hypothèse du continu à la théorie des ensembles, défini par exemple par les axiomes de Zermelo-Fraenkel, ne changeait nullement la consistance de cette théorie, même si on l'augmente de l'axiome du choix.

Travaux de Cohen

Enfin, Paul Cohen a montré en 1960 que l'hypothèse du continu était un indécidable de la théorie des ensembles basés sur les axiomes de Zermelo-Fraenkel. Elle est donc indépendante de la théorie des ensembles.

Commencée il y a une trentaine d'années, la recherche d'axiomes « naturels » à ajouter à la théorie de Zermelo-Fraenkel (axiomes de détermination, axiomes de grands cardinaux, etc.) va sans doute permettre, grâce aux travaux de Woodin, de résoudre prochainement l'hypothèse du continu... par la négative, ce que soupçonnait déjà Gödel.

Généralisation de l'hypothèse du continu

L'hypothèse généralisée du continu déclare qu'il n'existe pas d'ensemble dont le cardinal serait strictement compris entre $\aleph_\alpha$ et $2^{\aleph_\alpha}$ , $α$ parcourant les ordinaux et $2^{\aleph}$ étant le cardinal de l'ensemble des parties d'un ensemble de cardinal $\aleph$ .

On aurait alors $2^{\aleph_\alpha} = \aleph_{\alpha + 1}$ : il n'y aurait rien entre un cardinal et l'ensemble de ses parties, à bijection près. Cette hypothèse est aussi un indécidable d'après les travaux de Gödel et Cohen.