Identité de Bézout
En arithmétique, l'identité de Bézout, d'après le nom du mathématicien Étienne Bézout, est une équation diophantienne linéaire :
où a et b sont deux entiers relatifs, d leur plus grand commun diviseur, x et y deux inconnues à valeurs entières.
Le théorème de Bachet de Méziriac affirme que cette équation admet au moins un couple (x,y) de solutions.
En particulier, si a et b sont premiers entre eux, il existe deux entiers x et y tels que ax + by = 1.
Les entiers x et y ci-dessus peuvent être déterminés par l'algorithme d'Euclide étendu ; ils ne sont cependant pas déterminés de manière unique.
Par exemple, le plus grand diviseur commun de 12 et 42 est 6, et nous pouvons écrire
et aussi
.
À partir d'un couple solution (x0,y0), il est possible d'obtenir toutes les autres solutions :
Le théorème de Bachet de Méziriac est parfois aussi appelé théorème de Bézout ou lemme de Bézout. Il ne doit cependant pas être confondu avec le théorème de Bézout en géométrie algébrique.
Démonstration du théorème
Soit 
D est un sous-ensemble non vide de 
, il admet donc un plus petit élément 
. La division euclidienne de a par d donne 
et 
. D'où 
. Si 
, on aurait 
et r < d, ce qui est impossible. Ainsi r = 0 et d divise a. De même d divise b. Donc d est un diviseur commun à a et b. Enfin, si c est un diviseur commun à a et b, il divise 
, donc d est le PGCD de a et b.
Extension aux anneaux principaux quelconques
L'identité de Bézout peut s'écrire non seulement dans l'anneau des nombres entiers, mais aussi dans tout autre anneau principal. C'est-à-dire, si A est un anneau principal, et a et b sont des éléments de A, et d est un plus grand diviseur commun de a et b, alors il existe des éléments x et y dans A tels que : ax + by = d.