Kurt Gödel
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Gödel fut un logicien dont le travail le plus reconnu fut son théorème d'incomplétude, affirmant que n'importe quel système axiomatique indépendant suffisamment puissant pour décrire l'arithmétique des entiers admettrait des hypothèses sur les nombres entiers ne pouvant être infirmées ni confirmées par les axiomes de la théorie. Gödel a également démontré la complétude du calcul des prédicats du premier ordre. Il proposa aussi l'Hypothèse du continu, qui ne peut être réfutée à partir des axiomes admis de la théorie des ensembles, en admettant que ces axiomes sont cohérents.
Kurt Gödel fut, sans doute, le plus grand logicien du XXe siècle et l'un des trois plus grands de tous les temps ; il est souvent associé à Aristote et Gottlob Frege au sein d'un triumvirat de logiciens. Il publia ses résultats les plus importants en 1931 à l'age de 25 ans, alors qu'il travaillait encore pour l'université de Vienne (Autriche).
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Biographie
Enfance
Fils de Rudolf Gödel, dirigeant d'une petite industrie textile, et Marianne Gödel (née Handschuh). Au sein de cette famille germanophone, le petit Kurt est surnommé « Der Herr Warum » (M. Pourquoi). Il fréquente l'école primaire puis secondaire à Brno, qu'il termine avec les honneurs en 1923. Bien que Kurt ait d'abord excellé en langues, il devient peu de temps plus tard un fervent amateur d'histoire et de mathématiques. Cette passion pour les mathématiques prit une nouvelle ampleur en 1920 lorsque son frère aîné Rudolf (né en 1902) partit pour Vienne suivre un cursus médical. Adolescent, Kurt étudie déjà les travaux de Gabelsberger, la théorie de Goethe sur Isaac Newton, et les écrits de Kant.
Études Viennoises
À l'âge de 18 ans, Kurt rejoint son frère Rudolf à l'Université de Vienne. Il a à ce moment déjà aquis un niveau universitaire en mathématiques et en philosophie. Bien qu'initialement inscrit pour étudier la physique théorique, il suit aussi un enseignement en mathématiques et en philosophie. C'est à cette époque qu'il adhère au réalisme mathématique. Il lit Metaphysische Anfangsgründe der Naturwissenschaft de Kant, et rejoint le Cercle de Vienne où officient Moritz Schlick, Hans Hahn, et Rudolf Carnap. Kurt étudie par la suite la théorie des nombres, mais se tourne vite vers la logique mathématique après un séminaire donné par Moritz Schlick sur l'introduction à la philosophie des mathématiques, de Bertrand Russell.
C'est toujours à l'Université de Vienne qu'il rencontre celle qui deviendra (tardivement)sa femme, Adele Nimbursky (née Porkert). Il publie ses premiers papiers sur la logique et assiste à une conférence de David Hilbert à Bologne sur la complétude et la consistance des systèmes mathématiques. En 1929, Gödel devient citoyen autrichien avant d'obtenir cette même année son doctorat, sous l'égide de Hans Hahn. Dans sa thèse, il établit la complétude des prédicats du premier ordre, résultat connu sous le nom de théorème de complétude de Gödel.
Travaux à Vienne
Gödel obtient son doctorat en philosophie en 1930. Il ajouta une version combinatoire à sa théorie de la complétude, qui fut publiée par l'Académie des Sciences de Vienne. En 1931, il publie son célèbre théorème d'incomplétude dans Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme. Il prouve dans cet article que pour tout système axiomatique assez puissant pour décrire les nombres naturels, on peut affirmer que :
- 1. Il ne peut être à la fois cohérent et complet (ce qui est le théorème connu sous le nom de Théorème d'incomplétude.)
- 2. Si le système est cohérent, alors la cohérence des axiomes ne peut pas être prouvée au sein même du système.
Ces théories mirent fin à des siècles d'échec en cherchant à proposer un jeu d'axiomes définitif pour situer l'ensemble des mathématiques sur une base axiomatique ; à la manière des Principia Mathematica et du formalisme de Hilbert. Elles impliquent aussi que toutes les questions mathématiques ne sont pas calculables.
À la réflexion, l'idée élémentaire du théorème d'incomplétude apparaît simple. Gödel a essentiellement bâti une formule qui démontre qu'elle est improuvable dans un système formel donné. Si elle était prouvable, elle serait alors fausse, afin que l'on puisse y reconnaître des affirmations erronées. Sinon, il y aurait au moins une affirmation vraie, mais impossible à démontrer.
Pour préciser ces faits, Gödel a eu besoin de résoudre de nombreux problèmes techniques, comme le codage des preuves et le concept même de prouvabilité au sein des nombres entiers. Ces détails sur la forme expliquent pourquoi sa publication de 1931 est aussi longue et ardue à lire.
Gödel obtint son diplôme à l'Université de Vienne en 1932, et y devint Privatdozenten (conférencier) en 1933. La même année, Adolf Hitler fut nommé chancelier en Allemagne, ce qui n'inquiéta pas Gödel, qui s'intéressait peu à la politique.
Cependant, après l'assassinat le 22 juin 1936 de Moritz Schlick (dont le séminaire avait fait naître son intérêt pour la logique) par Hans Nelböck, un jeune étudiant nazi, Gödel fut particulièrement affecté, traversant sa première dépression.
Voyage aux États-Unis
Cette année 1933 fut aussi l'occasion pour Gödel de visiter les États-Unis, où il rencontra Albert Einstein avec qui il lia une solide amitié. Plus tard, il mit au point l'idée de la calculabilité, étudia les fonctions récursives, si bien qu'il donna une conférence sur les fonctions récursives générales et le concept de vérité. Ces travaux furent développés en utilisant la construction des nombres de Gödel.
En 1934, il donna une série de conférences à l'institut des hautes études de Princeton intitulée « De l'indécidabilité des postulats des systèmes mathématiques formels ». Stephen Kleene, qui venait juste de terminer son doctorat à Princeton, prit en notes ces conférences, publiées ultérieurement.
Gödel retourna à Princeton plus tard la même année. Les voyages et ses travaux l'avaient épuisé, si bien que l'essentiel de l'année suivante dut être consacré au traitement d'une nouvelle dépression. Il revint à l'enseignement en 1937, période durant laquelle il travailla sur la preuve de son hypothèse du continu, établissant ainsi que cette hypothèse ne peut être réfutée à partir des axiomes de la théorie des ensembles. Il épousa Adele le 20 septembre 1939 à l'Université de Notre-Dame.
Travaux à Princeton
Après l'Anschluss de 1938, l'Autriche tomba dans le giron de l'Allemagne nazie. Cette dernière ayant aboli le titre de Privatdozent, Gödel eut à se soucier d'une incorporation dans l'armée Nazi. En janvier 1940, sa femme et lui quittèrent l'Europe par le rail du Trans-sibérien, se rendant aux États-Unis. Après leur arrivée à San Francisco le 4 mars 1940, Kurt et Adele s'installèrent à Princeton, où il réintégra l'institut des hautes études de Princeton. À l'institut, Gödel se tourna plus encore vers la philosophie et la physique. Il étudia les travaux de Gottfried Leibniz et, à un moindre degré, ceux de Kant et Edmund Husserl.
À la fin des années 1940, il démontra l'existence d'une solution paradoxale aux équations de la théorie de la relativité générale d'Einstein. Les « univers tournants » auraient rendu possible le voyage dans le temps, et poussèrent Einstein à douter de sa propre théorie.
Il poursuivit ses travaux de logicien, et publia en 1940 Cohérence des axiomes du choix et de l'hypothèse généralisée du continu avec les axiomes de la théorie des ensembles, qui devint un classique des mathématiques modernes. Il introduit dans ce travail la notion d'univers constructible, modèle de la théorie des ensembles dans lequel les seuls ensembles existants sont ceux qui peuvent être construits à partir d'ensembles plus élémentaires. Gödel prouva qu'aussi bien les axiomes de choix et l'hypothèse généralisée du continu sont vraies dans un univers constructible, et doivent donc être cohérentes.
Devenu membre permanent de l'Institut des études avancées en 1946, il fut naturalisé citoyen américain en 1948. Il obtint un poste de professeur à l'Institut en 1953, refusa le titre de Professeur honoraire en 1975 et fut émérité en 1976.
En mars 1951,Gödel reçut (en même temps que le physicien Julian Schwinger) le premier prix Einstein, puis fut nommé docteur honoris causa dans plusieurs universités (Yale, Harvard, etc), et reçut la « National Medal of Science », en 1974.
Agé de 70 ans, Gödel, qui était profondément croyant, fit circuler parmi ses amis une élaboration basée sur la preuve ontologique de l'existence de Dieu, inspirée de l'argument de Saint Anselme et de considérations de Leibniz. Cette élaboration est maintenant connue sous le nom de preuve ontologique de Gödel.
Décès et distinctions
Gödel fut, tout au long de sa vie, un homme timide et en retrait. Approchant la mort, il se sentit de plus en plus concerné par sa santé, se convainquant de l'existence d'un complot visant à l'empoisonner. Il cessa alors de s'alimenter, tombant progressivement dans la cachexie. Il décéda le 14 janvier 1978, à Princeton, état du New Jersey, États-Unis.
La société Kurt Gödel, fondée en 1987, fut baptisée en son honneur. C'est une organisation internationale pour la promotion de la recherche dans les champs de la logique, la philosophie, et l'histoire des mathématiques.