Logarithme

En mathématiques, les fonctions logarithmes sont les applications réciproques des fonctions exponentielles. Si x est égal à b à la puissance y, x = b^y, nous pouvons dire aussi que y est le logarithme de x dans la base b (et cela signifie que y est la puissance à laquelle nous devons élever b, pour obtenir x), et nous écrivons : log_bx = y.

Par exemple, log₁₀100 = 2 (car 10²=100) et log₂8 = 3 (car 2³=8).

Les logarithmes furent inventés par John Napier (Neper) dans les années 1600.

Avant l'ère des ordinateurs, les logarithmes étaient utilisés comme une aide de calcul, avec des tables de logarithme décimal et des règles à calcul. L'idée fondamentale est que le logarithme d'un produit est la somme des logarithmes, et l'addition est plus facile à effectuer que la multiplication. Dans les applications, on utilisait le logarithme de base 10 ou le logarithme décimal appelé aussi le logarithme vulgaire.

Les logarithmes sont aussi utiles pour résoudre les équations dont les inconnues apparaissent dans un exposant, ils apparaissent aussi souvent dans la solution d'une équation différentielle parce que leur dérivée est facile à calculer.

De plus, beaucoup de quantités en sciences sont exprimées par leurs logarithmes; voir l'échelle logarithmique pour avoir une explication et une table.

Pour tout nombre réel b strictement positif et différent de 1, la fonction log_b est définie en tout réel x strictement positif. Voir les identités logarithmiques pour quelques propriétés que vérifient les fonctions logarithmes.

Il y a une base particulière e, la base du logarithme naturel qui a des propriétés intéressantes. (le nombre e est égal à exp(1) et vaut approximativement 2,71828). Le logarithme dans cette base est appelé le logarithme naturel ou logarithme népérien. On note habituellement les logarithmes de base e, log_e ou plus simplement ln. Dans la plupart des travaux de recherche en mathématiques pures, log est utilisé pour représenter log_e, tandis que dans les travaux d'ingénieurs il désigne log₁₀, et en informatique il désigne le plus souvent log₂. Le logarithme binaire est aussi souvent noté lg. L'ancienne notation du logarithme naturel Log n'est plus utilisée. Lorsque qu'il y a une ambiguïté possible, on doit écrire explicitement la base.

Remarquons que l'on a une approximation curieuse (avec une erreur inférieure à 0.6% de la valeur exacte): log₂(x) ≈ log₁₀(x) + ln(x).

Les logarithmes peuvent être aussi définis pour des nombres complexes. Ceci est expliqué dans la page logarithme naturel.

Dans la théorie des groupes finis, il y a une notion de logarithme discret. Pour certains groupes finis, il est connu que le logarithme discret est très difficile à calculer, tandis que les exponentielles discrètes s'obtiennent facilement. Cette dissymétrie a des applications en cryptographie.

Sommaire

1 Définition

1.1 Généralités
1.2 Logarithmes importants

2 Quelques propriétés

2.1 Déduction immédiate
2.2 Propriété fondamentale
2.3 Équivalence des logarithmes

3 Représentation graphique

4 Application pratique

5 Voir aussi

Définition

Généralités

Soit a > 0.

On définit $log_a : \mathbb{R}_+^* \rightarrow \mathbb{R}$ comme fonction réciproque de l'exponentielle

$\begin{matrix}exp_a : & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R}_+^* \\ \ & x & \mapsto & a^x \end{matrix}$

On a donc:

$\forall x \in \mathbb{R}, log_a(a^x)=x$

$\forall x \in \mathbb{R}, a^{log_a(x)}=x$

Logarithmes importants

Le logarithme naturel ln revêt une importance singulière, puisqu'il est associé a l'exponentielle, c’est-à-dire l'exponentielle de base e.

Cette importance apparait évidemment au regard des équations suivantes :

$\frac{d}{dx}\ln(x)=\frac{1}{x}.$

$\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} x^n\quad{\rm pour}\quad \left|x\right|<1.$

Ce logarithme est d'une utilisation particulièrement aisée.

Le logarithme décimal est utilisé dans de nombreux domaines. Il permet de juger d'un ordre de grandeur, par exemple (il permet de compter les nombre de zero d'un nombre, puisque $\log_{10}(10^d)=d\,\!$ )

Le logarithme binaire $log 2$ est utilisé en informatique. En effet, pour un nombre d donné, la partie entière de $\log_{2}(d)\,\!$ donne le poids du bit de poids le plus fort de ce nombre. Par exemple, $int(\log_{2}(13))=int(\log_{2}(0b1101))\approx int(3.7)=3\,\!$

Quelques propriétés

Déduction immédiate

$\log_a(a)=1\,\!$

Propriété fondamentale

$\ln(a \times b)=\ln(a) + \ln(b)$ (avec

a > 0

b > 0

)

On démontre cette propriété de façon simple:

$\ln(a \times b)=\ln(e^{\ln(a)} \times e^{\ln(b)})=\ln(e^{\ln(a)+\ln(b)})=\ln(a)+\ln(b)$

conséquences:

$\ln (\frac{1}{a}) = - \ln a$

$\ln (\frac{a}{b}) = \ln(a) - \ln(b)$

$\ln (a^n) = n \times \ln(a)$ , pour tout réel

n

Équivalence des logarithmes

Les logarithmes sont reliés entre eux par la formule suivante

$\log_a(x)=\frac{\log_b(x)}{\log_b(a)}$

En effet,

$a^{\log_a(x)}=x=b^{\log_b(x)}$

ce qui est équivalent à

$b^{\log_b(a)\times\log_a(x)}=x=b^{\log_b(x)}$

donc

$\log_b(a)\times\log_a(x)=\log_b(x)$

Ce qui démontre la propriété.

Remarque: On a donc

$\log_a(x)=\frac{\ln(x)}{\ln(a)}$

On voit donc que l'utilisation du logarithme naturel suffit généralement à couvrir tous les cas, et que l'utilisation des autres logarithmes se ramène à l'ajout d'une constante multiplicative.

Représentation graphique

Image manquante
Courbe_ln.png

Courbe $y = ln x$