Logarithme naturel

Le logarithme naturel est le logarithme de base e, où e est approximativement égal à 2,71828... (impossible de l'écrire sous forme d'un quotient puisque e est un nombre irrationnel). Le logarithme naturel est défini en tous les réels strictement positifs x. En des termes simples, le logarithme naturel est une fonction, qui est l'exposant d'une puissance de e, et apparaît fréquemment dans les processus naturels (ce qui explique pourquoi on l'appelle logarithme naturel). Cette fonction rend possible l'étude de phénomènes qui évoluent de façon exponentielle.

Il est également appelé logarithme népérien, du nom de son « inventeur », le mathématicien écossais John Napier (ou John Naper).

Sommaire

1 Conventions de notation

2 Ln est la fonction réciproque de la fonction exponentielle naturelle

3 Qu'ont-ils de si naturel ?

4 Définitions

5 Dérivée, série de Taylor et argument complexe

Conventions de notation

Les mathématiciens interprètent généralement « ln(x) » ou « log(x) » comme étant log_e(x), i.e. le logarithme naturel de x, et écrivent « log₁₀(x) » s'ils veulent considérer le logarithme en base 10 de x.

Les ingénieurs, les biologistes, et quelques autres écrivent simplement « ln(x) » ou (occasionnellement) « log_e(x) » lorsqu'ils veulent considérer le logarithme naturel de x, et notent « log(x) » le logarithme décimal « log₁₀(x) ».

Pour éviter toute confusion, nous utiliserons la notation ln(x) pour le logarithme naturel de x et log₁₀(x) pour le logarithme décimal de x.

Ln est la fonction réciproque de la fonction exponentielle naturelle

Cette fonction est l'application réciproque de la fonction exponentielle, on a ainsi

pour tout réel x strictement positif x, e^ln(x) = x et

pour tout réel x, ln(e^x) = x .

On a la représentation graphique suivante de la fonction ln :

Image manquante
Logarithme_népérien.png
image:logarithme népérien.png

Les logarithmes peuvent être définis dans toute base strictement positive et différente de 1, et pas seulement e, et ils sont utiles pour résoudre des équations dans lesquelles les inconnues apparaissent comme exposants d'une autre quantité.

Qu'ont-ils de si naturel ?

Initialement, il semblait que la base 10 était une base plus naturelle que e. La raison pour laquelle, on dit que ln(x) est « naturel » est double :

Le logarithme naturel, peut être défini très facilement à partir d'une intégrale simple ou d'une série de Taylor comme on l'expliquera plus bas; ce n'est pas le cas des autres logarithmes.
Ensuite, les expressions dans lesquelles une variable inconnue apparaît comme exposant de e se rencontrent plus souvent que les exposants de 10 (à cause des propriétés naturelles de la fonction exponentielle qui permettent de décrire la croissance et la décroissance de certains phénomènes), et ainsi le logarithme naturel est plus utile dans la pratique.

Pour poser le problème concrètement, on considère la dérivée d'une fonction logarithme. On a

$\forall x\in\mathbb{R}_+^*, \frac{{\rm d} \log_b}{{\rm d}x}(x)=\frac{{\rm constante}}{x}.$

C'est uniquement quand la base du logarithme est égale à e que la constante vaut 1.

Définitions

Formellement, ln(a) peut être défini comme l'aire du domaine délimité par la courbe représentative de la fonction $x\mapsto \frac{1}{x}$ , l'axe des abscisses et les droites d'équation x=1 et x=a, égale à l'intégrale :

$\ln(a)=\int_1^a \frac{1}{x}\,dx.$

Cela définit le logarithme parce qu'il satisfait la propriété fondamentale d'un logarithme :

ln(a b) = ln(a) + ln(b).

Cette relation peut être démontrée en utilisant un changement de variable comme suit :

$\ln (ab) = \int_1^{ab} \frac{1}{x} \; dx = \int_1^a \frac{1}{x} \; dx \; + \int_a^{ab} \frac{1}{x} \; dx =\int_1^{a} \frac{1}{x} \; dx \; + \int_1^{b} \frac{1}{x} \; dx = \ln (a) + \ln (b)$

Le nombre e peut être défini comme l'unique nombre réel tel que ln(e) = 1.

Cependant, si la fonction exponentielle a été définie auparavant, comme solution d'une équation différentielle ou par une série entière, le logarithme naturel se définit comme sa fonction réciproque : ln(x) est alors l'unique nombre tel que e^ln(x) = x. Puisque l'ensemble des valeurs de la fonction exponentielle est l'ensemble de tous les réels strictement positifs, ln est bien défini en tout réel strictement positif x. De plus exp est strictement croissante, dérivable et sa dérivée ne s'annule pas sur $R$ donc ln est dérivable et on peut retrouver sa dérivée par la dérivée d'une application réciproque.

Dérivée, série de Taylor et argument complexe

La dérivée du logarithme naturel est donnée par

$\frac{d}{dx}\ln(x)=\frac{1}{x}.$ ou $\frac{d\ln}{dx}(x)=\frac{1}{x}.$

On obtient le développement en série de Taylor :

$\ln(1+x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} x^n\quad{\rm pour}\quad \left|x\right|<1.$

On peut aussi définir ln(z) pour tous les nombres complexes non nuls z. Le développement en série de Taylor précédent reste valable pour tout nombre complexe x de module strictement inférieur à 1. Si un nombre complexe non nul z est écrit sous forme trigonométrique z = r e^iφ avec r > 0 et -π < φ ≤ +π, alors

ln(z) = ln(r) + iφ

Ainsi définie, ln est une fonction holomorphe en tout nombre complexe qui n'est pas un réel positif, et a la propriété suivante :

pour tout nombre non nul z, e^ln(z) = z

On doit être prudent, parce que certaines propriétés familières du logarithme réel ne sont plus vérifiées pour le logarithme complexe. Par exemple; ln(e^z) n'est pas toujours égal à z, et ln(zw) n'est pas toujours égal à ln(z) + ln(w).

Une définition plus naturelle de la fonction logarithme complexe ln la considère comme une fonction multiforme: pour z = r e^iφ on pose

ln(z) = { ln(r) + i(φ + 2πk) ; k entier quelconque }

C'est l'ensemble de tous les nombres complexes u pour lesquels e^u = z, parce que e^2πi = 1 (Voir la formule la plus remarquable du monde).

La meilleure façon de traiter les fonctions multiformes comme celle-ci en analyse complexe est d'utiliser la sphère de Riemann: la fonction ln n'est alors pas définie sur le plan complexe, mais sur une sphère, dite de Riemann, qui possède un nombre dénombrable de feuilles et les valeurs de la fonction diffèrent de 2πi de feuille en feuille.