Logique
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Généralités
Initialement, l'une des grandes disciplines de la philosophie, elle est devenue au XXe siècle une partie des mathématiques. Aujourd'hui, elle est en outre partie intégrante de : l'ingénierie informatique, la linguistique, la psychologie cognitive et, la communication sociale.
La logique est l'étude de la nature, des concepts, de la vérité, des jugements et, de la validité des raisonnements. Elle se déploie ainsi aujourd'hui selon les trois grands axes que sont :
- la théorie des ensembles,
- la théorie des modèles,
- la théorie de la démonstration.
Disciplines de la logique
- Les syllogismes aristotéliciens
- Le calcul des propositions
- Le calcul des prédicats
- Les logiques multivalentes :
- La logique trivalente
- La logique tétravalente
- Les logiques à plus de 4 valences
- Les logiques à une infinité de valences (cf. probabilités)
- Les logiques modales :
- La logique épistémique
- La logique déontique
- Les logiques affaiblies
- Les paradoxes
- L'unification en logique
- La logique floue
Philosophie
Antiquité
La logique est à l'origine une réflexion sur l'accord du discours (logos) avec lui-même. On peut dire qu'elle est un effort de la pensée pour rendre sa propre expression non contradictoire. Par suite, elle est un outil (organon) assurant la cohérence de la reflexion. La philosophie se sert donc de la logique pour organiser son discours et lui assurer une pertinence concernant ses hypothèses sur le monde.
La cohérence d'un discours a deux aspects qui correspondent aux différents sens du concept de vérité :
- La cohérence interne du discours lui-même : c'est la logique dans son aspect purement formel.
- La cohérence externe : c'est la définition matérielle de la vérité : « adequatio rei et intellectus », l'accord du contenu avec la réalité.
Le premier type de cohérence peut se faire en vue du second, mais s'en détache aussi pour constituer un domaine conceptuel autonome.
En philosophie, la logique pose le problème des relations entre le langage et la pensée : la logique semble être en effet à la fois l'effet et la cause du discours. Elle découle du logos en philosophie (le sens du discours) ; mais, en mathématique (la forme), la cohérence formelle semble s'engendrer d'elle-même.
La logique a très tôt été utilisée contre elle-même, c'est-à-dire contre les conditions mêmes du discours : le sophiste Gorgias l'utilise dans son Traité du non-être afin de prouver qu'il n'y a pas d'ontologie possible : « ce n'est pas l'être qui est l'objet de nos pensées ». La vérité matérielle de la logique est ainsi ruinée. Le langage acquiert ainsi sa propre loi, qui est celle de la logique, indépendante de la réalité. Mais les sophistes ont été écartés de l'histoire de la philosophie (sophiste a pris un sens péjoratif), si bien que la logique, dans la compréhension qu'on en a eu par exemple au Moyen Âge, est restée soumise à la pensée de l'être.
XIXe siècle
Kant, quant à lui, définit la logique comme une science qui expose dans le détail et prouve de manière stricte, uniquement les règles formelles de toute pensée. L'œuvre d'Aristote appelée l'Organon, où figure notamment l'étude du syllogisme, fut longtemps considérée comme le manuel de référence sur ce sujet. Mais la naissance d'une logique formelle non prédicative, à partir du XIXe siècle, a quelque peu changé cet état de fait. Ainsi Frege remplace-t-il l'analyse prédicative par une distinction entre fonction et concept.
La logique a pour origine la lutte du vrai et du faux, de l'être et du non-être. Il a fallu attendre le début du XXe siècle pour que l'évidence de cette bivalence soit remise en question : des logiques trivalentes, ajoutant une valeur indéterminée, sont alors inventées (Kleene, Lukasiewicz, Bochvar). Mais celles-ci, se généralisant en logiques polyvalentes, ne remettaient néanmoins pas en question l'appartenance stricte d'une proposition à l'une (et une seule) de ces valeurs. C'est à partir de 1965 que Zadeh élabore une logique floue (fuzzy logic) dans laquelle une proposition est vraie selon un certain degré de probabilité (degré auquel on assigne lui-même un degré de probabilité). Loin du monde tranché de la certitude classique, un monde flou se révèle dans toute sa complexité.
Mathématiques
Dans ce dernier cas, sa position est un peu particulière d'un point de vue épistémologique, puisqu'elle est à la fois un outil de définition des mathématiques, et une branche de ces mêmes mathématiques, donc un objet.
Notions élémentaires de logique formelle
Un langage logique est défini par une syntaxe, c'est-à-dire un système de symboles et de règles pour les combiner sous formes de formules. De plus, une sémantique est associée au langage. Elle permet de l'interpréter, c'est-à-dire d'attacher à ces formules ainsi qu'aux symboles une signification. Un système de preuve nous permet également de calculer la signification des formules en construisant des démonstrations.
La logique dite classique comprend :
- la logique des propositions,
- la logique des prédicats.
Considérons un langage logique. Ce dernier est : soit un langage propositionnel, on parle alors de logique des propositions ; soit un langage du premier ordre, on parle alors de logique des prédicats. Bien évidemment, ces langages logiques diffèrent de par leur syntaxe.
Considérons leurs syntaxes respectives.
La syntaxe de la logique des propositions est fondée sur des variables de propositions appelées également atomes que nous notons avec des lettres minuscules (p, q, r, s, etc.). Ces symboles représentent des propriétés qui sont, soit vraies, soit fausses. Ces variables sont combinées au moyen de connecteurs logiques qui sont :
- le connecteur binaire disjonctif (ou),
- le connecteur binaire conjonctif (et),
- le connecteur binaire de l'implication (->),
- le connecteur monadique de la négation (non).
Ces variables forment alors des formules appelées également propositions. Nous les notons par des lettres grecques minuscules (phi, psi, thêta, etc.).
La syntaxe de la logique d'ordre un, contrairement à celle d'ordre zéro, considère d'une part les termes qui représentent les objets étudiés, et d'autre part les formules qui sont des propriétés sur ces objets. Dans la suite de ce manuscript, nous noterons V l'ensemble des variables (x,y,z,...), F l'ensemble des symboles de fonctions (f,g,...) et P l'ensemble des symboles de prédicats (P,Q,...). On dispose également d'une application dite d'arité m.
Qu'en est-il de la signification d'une formule? C'est l'objet de la sémantique. Là encore, elle diffère selon le langage envisagé.
En logique propositionnelle, une formule est soit vraie soit fausse. Plus formellement, l'ensemble des valeurs de vérité est un ensemble B de deux booléens : le vrai (1) et le faux (0). La signification des booléens est définie à l'aide de fonctions de booléens vers des booléens. Ces fonctions peuvent être représentées sous la forme de table de vérité.
La signification d'une formule dépend donc de la valeur de vérité de ses variables. On parle d'interprétation ou d'affectation.
Comme dans le cas propositionnel, la sémantique de la logique du premier ordre est décrite par une interprétation. Cependant le langage de la logique du premier ordre est plus riche. En conséquence, de nouvelles définitions sont nécessaires. Contrairement au langage propositionnel, les interprétations et les affectations sont des objets différents. Une affectation donne une valeur à chaque variable, alors qu'une interprétation décrit le domaine des valeurs et la sémantique des symboles de fonctions et de prédicats.
Nous avons doté la logique propositionnelle ainsi que la logique du premier ordre d'une sémantique. Toutefois, il est difficile, au sens de la complexité algorithmique, de l'utiliser pour décider si une formule est satisfiable (ou non) voire valide (ou non). Il faudrait pour cela énumérer toutes les interprétations. Leur nombre est exponentiel. Une alternative consiste à examiner les preuves bien formées, et à considérer leurs conclusions. Pour cela nous utilisons un système de preuve.
Un système de preuve est un couple (A,R), où A est un ensemble de formules appelées axiomes et R un ensemble de règles d'inférence, c'est-à-dire de relations entre des ensembles de formules (les prémisses) et des formules (la conclusion).
On appelle dérivation à partir d'un ensemble d'hypothèses une suite non vide de formules qui sont : soit des axiomes, soit des formules déduites des formules précédentes de la suite.
Une preuve d'une formule phi à partir d'un ensemble de formules Gamma est une dérivation à partir de Gamma dont la dernière formule est phi.
Quantification
Il existe essentiellement deux quantificateurs en logique classique:
(il existe) , appelé quantificateur existentiel.
(pour tout) , appelé quantificateur universel.
La négation du quantificateur existentiel est le quantificateur universel.
Automatisme et Informatique
Dans ces deux domaines la logique est omniprésente et représente le fondement de ces diciplines.
- En automatisme, afin de pouvoir ordonner des processus en fonction de conditions précises, un fonctionnement logique est nécessaire. À l'aide d'opérateurs logiques simples et combinés, la logique combinatoire permet de déterminer des conditions et des prises de décisions automatisées. Autrefois, les automates contenaient de multiples relais assurant ces fonctions, aujourd'hui, ce sont en fait des micro-ordinateurs spécialisés avec une interface homme/machine adaptée.
- En informatique :
- dans la partie électronique numérique, les mêmes opérateurs logiques sont utilisés en grand nombres ;
- dans la partie logiciel, les opérateurs de logique booléenne des langages de programmation sont très utilisés, comme système de comparaison et de prise de décision ;
- au niveau des langages de programmation, il existe des relations profondes entre la logique intuitionniste et le lambda-calcul (et donc les langages fonctionnels). La correspondance de Curry-Howard propose de voir les propositions comme des types, et une preuve d'une proposition P comme un terme ayant le type P. On obtient alors des règles identiques à celles utilisées pour le typage des termes du lambda-calcul. Cette approche est utilisée dans un certain nombre de logiciels d'aide à la preuve, comme Coq ou HOL. Enfin, l'ajout de continuations au langage permet de retrouver la logique classique, le type de ces nouveaux termes pouvant être rapproché du tiers-exclus.
- Afin de spécifier un système (protocole, logiciel...), notamment en model-checking, on fait appel aux logiques temporelles.
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