Loi des grands nombres

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Essentiellement, la loi des grands nombres indique que lorsque l'on fait un tirage aléatoire dans une série de grande taille, plus on augmente la taille de l'échantillon plus les caractéristiques statistiques du tirage (l'échantillon) se rapprochent des caractéristiques statistiques de la population. Mais il est intéressant de noter que le taille de l'échantillon à prendre pour approcher les caractéristiques de la population initiale ne dépend que faiblement voire pas du tout de la taille de la série initiale : pour un sondage au Luxembourg ou aux États-Unis, il suffit, pour obtenir une précision égale de prendre un échantillon de même taille.

C'est sur cette loi que reposent la plupart des sondages (en tout cas ceux qui n'utilisent pas spécifiquement la règle des quotas). Ils interrogent un nombre suffisamment important de personnes pour connaître l'opinion (probable) de la population entière.

La loi des grands nombres sert aussi en statistique inférentielle, pour deviner une loi de probabilité à partir d'une série d'expériences.

Les mathématiciens distinguent deux énoncés, appelés respectivement loi faible des grands nombres et loi forte des grands nombres.

Loi faible des grands nombres

Si l'on considère n variables aléatoires indépendantes qui suivent la même loi de probabilité et dont l'espérance est E(X), la loi faible des grands nombres stipule que, pour tout réel ε strictement positif, la probabilité que la moyenne empirique Y_n = \frac{X_1+X_2+...+X_n}{n} s'éloigne de l'espérance de plus de ε, tend vers 0 pour les grandes valeurs de n.

\lim_{n \to \infty}p(|\frac{X_1+X_2+...+X_n}{n} -E(X)| \geq \epsilon) = 0

Elle se démontre en utilisant l'inégalité de Tchebychev:

p(|Y - E(Y)|\geq \epsilon) \leq \frac{V(Y)}{\epsilon^2}

Et en remarquant que la variable Y_n = \frac{X_1+X_2+...+X_n}{n} a pour espérance E(X) et pour variance \frac{V(X)}{n} donc

p(|\frac{X_1+X_2+...+X_n}{n} -E(X)| \geq \epsilon) \leq \frac{V(X)}{n\epsilon^2}

On dit aussi que Yn converge en probabilité vers E(X)

Loi forte des grands nombres

... à compléter par un spécialiste ...

La loi forte des grands nombres précise que Y_n(\omega)\, converge vers E(X) « presque partout ».

C’est-à-dire que :

p\left(\lim_{n \to \infty} Y_n(\omega) = E(X)\right)=1

Convergence vers une loi de probabilité

La même loi des grands nombres permet de dire que la répartition de la population de l'échantillon converge vers la loi de probabilité de X pour n assez grand.

Pour prouver que la fréquence fn(i) de la valeur xi converge vers la probabilité pi, il suffit d'utiliser la variable aléatoire qui prend la valeur 1 si X(ω) = xi et la valeur 0 sinon.

Cette variable aléatoire a pour espérance pi.

La fréquence fn(i) converge alors en probabilité et aussi presque sûrement, vers pi

See also: Loi des grands nombres, Espérance, Indépendance en probabilité élémentaire, Loi de probabilité, Luxembourg (pays), Pafnouti Tchebychev, Probabilités, Sondage