Loi géométrique

On considère une épreuve de Bernoulli dont la probabilité de succès est p et celle d'échec q = 1 - p.

On renouvelle cette épreuve de manière indépendante jusqu'au premier succès. On appelle X la variable aléatoire donnant le rang du premier succès. Les valeurs de X sont les 1, 2,.......

La probabilité que X = k est alors

p(k) = qk − 1p

On dit que X suit une loi géométrique de paramètre p.

Sommaire
1 Calcul de p(k)
2 Espérance, variance, écart type
3 Date de mort, durée de vie
4 Voir aussi

Calcul de p(k)

La probabilité p(k) correspond à la probabilité d'obtenir dans une succession de k épreuves de Bernoulli, k - 1 échecs suivis d'un succès. Les épreuves étant indépendantes, cette probabilité est de qk - 1p

Espérance, variance, écart type

L'espérance d'une variable aléatoire suivant une loi géométrique de paramètre p est \frac{1}{p}

La variance est \frac{q}{p^2}

L'écart type est donc \frac{\sqrt{q}}{p}

Date de mort, durée de vie

Si on appelle p la probabilité de désintégration d'une particule radioactive, la loi géométrique est le premier modèle discret de la mort d'une particule radioactive. La durée de vie de la particule radioactive V, suit la loi de probabilité suivante:

p(V = k) = qkp pour k = 0, 1, ....
p(V \geq k) =q^k = \mathrm{e}^{k\ln(q)}


Pour p petit, ln(1 - p) est voisin de -p donc

p(V \geq k) \approx \mathrm{e}^{-pk}

où l'on retrouve la distribution de la loi exponentielle

Image manquante
Geometrique_exponentielle.png





Ci-contre : diagramme en bâtons de la loi de V et densité de la loi exponentielle de paramètre 1/10



Voir aussi

See also: Loi géométrique, Espérance, Loi de probabilité, Loi exponentielle, Radioactivité, Variables aléatoires élémentaires, Variance, Écart type, Épreuve de Bernoulli