Loi hypergéométrique

On tire simultanément n boules dans une urne contenant pA boules gagnantes et qA boules perdantes (avec q = 1 - p). On compte alors le nombre de boules gagnantes extraites et on appelle X la variable aléatoire donnant le nombre de boules gagnantes.

L'univers X(Ω) est l'ensemble des entiers de 0 à n.

La variable aléatoire suit une loi de probabilité définie par

p(k)=\frac{C_{pA}^kC_{qA}^{n-k}}{C_A^n}

Cette loi de probabilité s'appelle la loi hypergéométrique de paramètres (n ; p ; A). Il est nécessaire que p soit un réel compris entre 0 et 1, que pA soit entier et que n ≤ A

Sommaire
1 Calcul de p(k)
2 Espérance, variance et écart type
3 Convergence
4 Voir aussi

Calcul de p(k)

Il s'agit d'un tirage de n éléments parmi A. Tirage que l'on considère comme équiprobable.

La combinatoire permet de dire que le cardinal de l'univers est C_A^n.

L'événement « X=k » signifie que l'on a tiré k boules gagnantes parmi pA et n - k boules perdantes parmi qA. Le cardinal de cet événement est donc C_{pA}^kC_{qA}^{n-k}.

La probabilité de l'événement est donc p(k)=\frac{C_{pA}^kC_{qA}^{n-k}}{C_A^n}

Espérance, variance et écart type

L'espérance d'une variable suivant une loi hypergéométrique de paramètres n, p, A est np.

La variance d'une variable aléatoire suivant une loi hypergéométrique de paramètres n, p, A est npq\frac{A - n}{A - 1}

L'écart type est alors \sqrt{npq}\sqrt{\frac{A - n}{A - 1}}.

Convergence

Pour n petit devant A, la loi hypergéométrique est équivalente à une loi binomiale de paramètres n et p. En fait, on considère que, pour A grand, tirer simultanément n boules revient à effectuer n fois une épreuve de Bernoulli dont la probabilité de succès serait p (p est la proportion de boules gagnantes dans l'ensemble des boules).

En pratique, on remplace la loi hypergéométrique de paramètres (n ; p ; A) par une loi binomiale de paramètres (n ; p) dès que 10n < A.

Un exemple très classique de ce remplacement concerne le sondage. On considère fréquemment le sondage de n personnes comme n sondages indépendants alors qu'en réalité le sondage est exhaustif (on n'interroge jamais deux fois la même personne). Comme n(nombre de personnes interrogées) < A(population sondée)/10, cette approximation est légitime.

Voir aussi

See also: Loi hypergéométrique, Combinatoire, Espérance, Loi binomiale, Loi de probabilité, Probabilité, Probabilité (mathématiques élémentaires), Sondage, Univers (mathématiques), Variable aléatoire