Loi universelle de la gravitation

Deux corps ponctuels de masse $M A$ et $M B$ s'attirent avec une force proportionnelle à chacune des masses, et inversement proportionnelle au carré de la distance qui les sépare. Cette force a pour direction la droite passant par le centre de gravité de ces deux corps.

La force exercée sur le corps $B$ par le corps $A$ est vectoriellement donnée par

$\vec{F}_{A{\rightarrow}B}=-G\frac{M_A M_B}{AB^2}\vec{u}_{AB}$

où G est la constante de gravitation, qui vaut ~ $6.10 - 11 N m 2 k g - 2$ , et $\vec{u}_{AB}$ est un vecteur de longueur unité allant de A vers B. Le signe - (moins) dans l'expression de la force signifie donc bien que la force est attractive, allant dans le sens opposé au vecteur unitaire $\vec{u}_{AB}$ .

Histoire des sciences

Isaac Newton en 1684 utilise pour la première fois cette loi dans le DE MOTU, mais pour des astres supposés ponctuels. Il est vraisemblable qu'au cours de la rerédaction de cet opuscule, en 1685, il découvre, avec joie, que sa loi universelle est plus profonde car elle est plus simple. Il découvre que TOUT en astronomie s'en déduit ET qu'il peut même appliquer sa loi à la pesanteur, unifiant ainsi les deux nouveaux mondes de Galilée: la mécanique terrestre et la mécanique céleste. Il demandera à Halley un délai pour mettre « tout ce fatras » au propre : ce qui exigera de sa part un effort colossal. En 1687, paraîtront les Principia, qui est un monument de la pensée humaine : des dizaines de théorèmes y sont demontrés, montrant la voie pour la recherche du XVIIIème siècle. Pour la première fois, est mise pleinement en acte la pensée de Galilée : le grand livre de la Nature peut s'expliquer par les mathématiques. Ainsi peut-on considérer Newton comme le fondateur de la physique mathématique. Tous ses rivaux (Hooke, Huygens , etc.) sont relégués à l'avant Newton, un peu comme après 1905, on parlera de avant/après Einstein. Mais cela n'est évidemment point vrai; et Newton reprendra à son compte l'aphorisme de Nicole Oresme : Si j'ai pu voir un peu au-delà, c'est que j'étais porté par des épaules de géants. Il est clair que la loi en 1/r^2 est déjà connue de Hooke, Halley , etc. (à développer); mais personne ne l'a énoncée ainsi. Newton a surtout été acclamé pour sa démonstration des lois de Kepler , alors que c'est un théorème parmi bien d'autres.

Les Principia sont très difficiles à lire: il fallait pour suivre le cheminement de la pensée de Newton comprendre « l'ultime raison », le 0/0 des étudiants en calculus. Evidemment, en tant qu'inventeur du calculus, Newton possédait une certaine avance sur ses contemporains!

D'autre part, Newton franchit un Rubicon qui provoquera les tollés de l'élite scientifique de l'époque : hypotheses non fingo, je ne feins pas d'hypothèse. Explicitement: je rétablis en physique cette chose « interdite » depuis Aristote : l'action instantanée à distance. Les cartésiens refuseront cela, et le temps de réception des travaux de Newton en France et en Allemagne sera très long (presque 30 ans !). Newton lui-même a essayé de trouver la cause de cette attraction : en vain.

Et pourtant! vers 1900, on sait qu'il reste à expliquer un résidu dans la précession de la trajectoire de la planète Mercure autour du Soleil. Einstein expliquera ces fameuses 43 secondes d'arc par siècle, en inventant sa théorie de la gravitation appelée Relativité Générale en 1915. La loi de Newton n'était qu'une approximation (très bonne) de la réalité, mais incapable de s'appliquer aux trous noirs, ou à la « chute de la lumière ».

Énergie potentielle de gravitation

Calculons l'énergie potentielle d'un corps de masse m à une distance R d'un corps de masse M produisant le champ de gravitation :

$U_{potentielle}=-\int_\infty^R \vec{F}\cdot\vec{dr} = \int_\infty^RG\frac{Mm}{r^2}\vec{u_r}\cdot\vec{dr} = GMm\int_\infty^R\frac{dr}{r^2} = GMm[-\frac{1}{r}]_\infty^R$

$U_{potentielle}=-\frac{GMm}{R}$

Ainsi, ce calcul est très apparenté à celui de l'electrostatique des charges fixes, qui est issue de la loi de Coulomb (qui est simplement la loi universelle traduite en électricité pour les charge électriques). Ainsi, tous les calculs de gravimétrie sont translatables en électrostatique et réciproquement, ce qui est une économie de pensée considérable. Un exemple est l'exercice suivant :

Énergie potentielle d'une masse sphérique de densité homogène

Soit un corps sphérique de rayon R et de masse volumique uniforme $ρ$ .

On peut démontrer que son énergie potentielle interne $U p o t e n t i e l l e$ est égale à :

$U_{potentielle}= -\frac{3}{5}\frac{GM^2}{R}$

Démonstration rapide : Nous voulons calculer l'énergie potentielle d'une coquille sphérique d'épaisseur dr située à la distance R.

$dU_{potentielle}=-\frac{G M dm}{R}$

avec $M=\frac{4}{3}\pi R^3\rho ; dm=4 \pi r^2 \rho dr$ . On construit la sphère de r=0 jusqu'à r=R à partir de coquilles sphériques d'épaisseur dr.

$dU_{potentielle} = -\frac{G\frac{4}{3}\pi r^3\rho 4\pi r^2 \rho dr}{r}$

$U_{potentielle} = -G\frac{4}{3}4\pi^2\rho^2\int_0^R r^4dr = -G\frac{4}{3}4\pi^2\rho^2\frac{R^5}{5} = -G\frac{3}{5}(\frac{4}{3}\pi R^3\rho)(\frac{4}{3}\pi R^3\rho)\frac{1}{R}=-\frac{3}{5}\frac{GM^2}{R}$

Loi universelle de la gravitation

Histoire des sciences

Énergie potentielle de gravitation

Énergie potentielle d'une masse sphérique de densité homogène

See also: Loi universelle de la gravitation, Constante gravitationnelle, Gravimétrie, Isaac Newton, Loi de Coulomb, Mécanique céleste, Relativité Générale, Énergie potentielle gravitationnelle