Matrice définie positive

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En algèbre linéaire, la notion de matrice définie positive est analogue à celle des nombres réels positifs.Une matrice hermitienne $M$ de dimension n × n est dite définie positive si elle vérifie l'une de ces six propriétés :

Tout d'abord définissons :

$a T$ est la transposée de la matrice ou du vecteur $a$
$a *$ est la matrice conjuguée de la transposée de $a$
$\mathbb{R}$ est l'ensemble des réels
$\mathbb{C}$ est l'ensemble des nombres complexes
$\mathbb{Z}$ est l'ensemble des entiers (positifs ou négatifs)
$M$ est une matrice hermitienne

1.	Pour tout les vecteurs non nuls $z \in \mathbb{C}^n$ nous avons $\textbf{z}^{} M \textbf{z} > 0$ . $z$ étant un vecteur colonne avec $n$ élements complexes et $z $ le vecteur conjugué transposé( $z * M z$ est toujours réel.)
2.	Pour tout vecteur non nul $x \in \mathbb{R}^n$ nous avons $\textbf{x}^{T} M \textbf{x} > 0$
3.	Pour tout vecteur non nul $u \in \mathbb{Z}^n$ , nous avons $\textbf{u}^{T} M \textbf{u} > 0$ .
4.	Toutes les valeurs propres de $M$ sont positives. $\lambda_i(M) > 0 \; \forall i$
5.	La forme $\langle \textbf{x},\textbf{y}\rangle = \textbf{x}^{*} M \textbf{y}$ définie un produit scalaire dans $\mathbb{C}^n$ .
6.	L'ensemble de ces matrices ont toutes un déterminant positif: la sous matrice principale de dimension 1 × 1 de $M$ la sous matrice principale de dimension 2 × 2 de $M$ la sous matrice principale de dimension 3 × 3 de $M$ ... la matrice $M$ elle même

Propriétés

Toute matrice définie positive est inversible et son inverse est elle aussi définie positive.
Si $M$ est définie positive et $r > 0$ est un nombre réel, alors $r M$ est définie positive.
Si $M$ et $N$ sont définies positives alors $M + N$ est aussi définie positive et si $M N = N M$ , alors $M N$ est définie positive.

Matrice définie positive

Propriétés

See also: Matrice définie positive, Déterminant (mathématiques), Forme lineaire, Hermitien, Mathématiques, Matrice inversible, Produit scalaire