Mécanique hamiltonienne

La mécanique hamiltonienne a été inventée par Hamilton en 1833. Comme la mécanique lagrangienne, c'est une reformulation de la mécanique classique.

En mécanique lagrangienne, les équations du mouvement dépendent des coordonnées généralisées \left\{q_j | j=1,...,N \right\} et des vitesses correspondantes \left\{ \dot{q}_j | j=1,...,N \right\}. En abusant des notations, le lagrangien peut s'écrire ainsi: L(q_j, \dot{q}_j, t), les variables indexées représentant les N variables de ce type.
En mécanique hamiltonienne, chaque vitesse généralisée est remplacée par la quantité de mouvement associée, aussi appelée moment conjugué ou encore impulsion généralisée :

p_j = {\partial L \over \partial \dot{q}_j}

En coordonnées cartésiennes, les quantités de mouvement sont équivalentes aux moments linéaires, alors qu'en coordonnées polaires elles correspondent aux moments angulaires. Lorsque les coordonnées généralisées sont choisies arbitrairement, il n'est plus possible de donner une interprétation intuitive aux moments conjugués.

L'hamiltonien H est la transformée de Legendre du lagrangien :

H\left(q_j,p_j,t\right) = \sum_i \dot{q}_i p_i - L(q_j,\dot{q}_j,t).

Si les équations qui définissent les coordonnées généralisées sont indépendantes du temps t, on peut montrer que H est égal à l'énergie totale E, elle-même étant égale à la somme de l'énergie cinétique T et de l'énergie potentielle V (H = E = T + V). Sous forme différentielle, les deux membres de la définition de H deviennent :

\begin{matrix} dH &=& \sum_i \left[ \left({\partial H \over \partial q_i}\right) dq_i + \left({\partial H \over \partial p_i}\right) dp_i + \left({\partial H \over \partial t}\right) dt \right] \\ dH &=& \sum_i \left[ \dot{q}_i dp_i + p_i d\dot{q}_i - \left({\partial L \over \partial q_i}\right) dq_i - \left({\partial L \over \partial \dot{q}_i}\right) d\dot{q}_i - \left({\partial L \over \partial t}\right) dt \right] \end{matrix}

En utilisant la définition des moments conjugués donnée précédement, on obtient les équations du mouvement de Hamilton, dites equations canoniques de Hamilton :

{\partial H \over \partial q_j} = - \dot{p}_j, \qquad {\partial H \over \partial p_j} = \dot{q}_j, \qquad {\partial H \over \partial t } = - {\partial L \over \partial t}

Les équations de Hamilton sont des équations différentielles du premier ordre et donc plus faciles à résoudre que les équations de Lagrange qui sont du second ordre. Néanmoins, les étapes qui conduisent à ces équations sont plus complexes que celles de la mécanique lagrangienne : à partir des coordonnées généralisées et du lagrangien, il faut calculer l'hamiltonien, exprimer les vitesses généralisées en fonction des moments conjugués et remplacer celles-ci dans la définition de l'hamiltonien. Finalement, il y a peu d'avantages à utiliser la méthode d'Hamilton plutôt que celle de Lagrange, les deux produisant bien sûr les mêmes résultats.

L'avantage principal de l'approche hamiltonienne est de fournir, grâce à la simplicité de son formalisme, un fondement théorique en mécanique. Par exemple, la mécanique quantique utilise un formalisme basé sur celui de la mécanique hamiltonienne. On pourra aussi noter une certaine similitude entre les équations canoniques d'Hamilton et les équations de Maxwell.

See also: Mécanique hamiltonienne, 1833, Coordonnées cartésiennes, Coordonnées généralisées, Coordonnées polaires, Lagrangien, Mécanique classique, Mécanique quantique, Quantité de mouvement, William Rowan Hamilton