Mécanique statique

La mécanique statique est la branche de la physique qui étudie les systèmes mécaniques au repos dans un repère galiléen.

Sommaire

1 Statique du point

1.1 Exemples de forces
1.2 Principe de l'action et de la réaction
1.3 Réaction du support et frottement statique
1.4 Levier, moment d'une force
1.5 Poulie

2 Condition sur l'énergie potentielle

3 Statique d'un solide

4 Principe Fondamental de la Statique (PFS)

4.1 Théorème de la résultante :
4.2 Théorème du moment :

5 Voir aussi

Statique du point

On appelle point matériel un objet idéal de dimensions nulles (assimilable à un point) mais doté d'une masse.

Un point matériel est immobile ou en mouvement de translation uniforme (dans un espace galiléen) si la somme des forces qui s'exercent sur lui donne le vecteur nul

(les forces s'opposent et s'annulent)

$\sum_i \vec{F_i} = \vec{0}$

Ceci dérive de la première loi de Newton.

Par la suite, nous représenterons des objets volumiques, mais comme on s'intéresse au mouvement du centre d'inertie G de cet objet (cf. cinématique), tout se passe comme si les forces s'appliquaient sur G, la point matériel est alors G doté de la masse de l'objet.

Exemples de forces

La force est un modèle (sous la forme d'un vecteur) qui sert à représenter les interactions indépendamment de leur cause (poids, traction d'un câble, force électrostatique ou magnétique...). La manière la plus simple de la représenter est de considérer la traction par un câble. En effet, le vecteur force est nécessairement dans la direction du câble et dans le sens de la traction, son point d'application est le point d'attache du câble à l'objet.

Si par exemple on considère un objet relié à trois câbles et non soumis à son poids (l'expérience se déroule dans la navette spatiale, en état d'apesanteur), la condition d'équilibre est très simple : si $\vec{F_1}$ , $\vec{F_2}$ et $\vec{F_3}$ sont les forces qu'exercent les câbles sur l'objet, alors

$\vec{F_1} + \vec{F_2} + \vec{F_3} = \vec{0}$

Image manquante
Equilibre_des_forces_3_cables.png
Image:Equilibre des forces 3 cables.png

Le poids est une force, notée $\vec{P}$ , qui s'exerce en tout point de l'objet. On peut la résumer en une force unique s'appliquant au centre d'inertie G de l'objet ; en fait, on peut représenter le poids par un câble tirant vers le bas et attaché au « centre » de l'objet. Dans le modèle de la gravité de Newton, le poids est obtenu en multipliant la masse m de l'objet par l'accélération $\vec{g}$ de la gravité, c'est-à-dire l'accélération qu'ont tous les objets en chute libre si l'on néglige le frottement de l'air (en effet, s'il n'y avait pas de frottement de l'air, tous les objets tomberaient avec la même accélération quelles que soient leur forme et leur masse)

$\vec{P} = m \cdot \vec{g}$

Si l'on a un objet immobile suspendu à un fil, alors la somme vectorielle de la traction $\vec{T}$ du fil et du poids de l'objet est nulle

$\vec{P} + \vec{T} = \vec{0}$ soit $\vec{T} = - \vec{P}$

Si un objet est posé immobile sur un support, une table, il est soutenu par ce support. Le support exerce donc une force sur l'objet, qui compense exactement le poids ; cette force est appelée réaction du support et est notée $\vec{R}$ . Cette force résulte de la somme de toutes les forces exercées en chaque point de contact entre l'objet et le support, mais elle peut se résumer en une force unique dont le point d'application est exactement sous le barycentre (le « milieu » pondéré) de l'objet. Le point d'application de la réaction n'est donc pas nécessairement sur la surface de contact, par exemple dans le cas des tabourets ou des véhicules à roues.

Dans ce cas simple, on a

$\vec{P} + \vec{R} = \vec{0}$ soit $\vec{P} = - \vec{R}$

Image manquante
Equilibre_des_forces_2_exemples.png
Image:Equilibre des forces 2 exemples.png

Principe de l'action et de la réaction

Lorsqu'un objet A exerce une force (appelée « action ») sur un objet B, l'objet B exerce une force opposée (appelée « réaction ») sur l'objet A. Ce principe est également appelé « troisième loi de Newton ».

Ainsi, dans le cas d'un objet suspendu à un câble, la câble exerce une traction sur l'objet, donc l'objet exerce aussi une traction sur le câble (c'est pour cela qu'il est tendu). Dans le cas d'un objet posé sur un support, le support exerce une force sur l'objet (la réaction du support), donc l'objet exerce lui aussi une force sur le support (la pression de l'objet).

On voit qu'un des éléments fondamentaux est de bien définir le système sur lequel on travaille. On considère les forces qu'exercent les éléments extérieurs au système sur le système lui-même. Ainsi, dans le cas de l'objet suspendu au câble, on peut choisir comme système :

l'objet, soumis à son poids $\vec{P}$ et à la traction du câble $\vec{T_1}$
ou bien le câble, soumis à la traction $\vec{T_2}$ de la part de l'objet et à la réaction $\vec{R}$ du support (le plafond auquel il est accroché).

Image manquante
Equilibre_des_forces_1_situation_2_points_de_vue.png
Image:Equilibre des forces 1 situation 2 points de vue.png

D'après le principe de l'action et de la réaction, on en déduit que

$\vec{T_1} = - \vec{T_2}$

les conditions d'équilibre s'écrivent

$\vec{P} + \vec{T_1} = \vec{0}$ pour l'objet

$\vec{T_2} + \vec{R} = \vec{0}$ pour le câble

soit au final

$\vec{R} = - \vec{P}$

on voit donc que le câble transmet intégralement les efforts, pour le plafond, tout est comme si le solide était attaché sans intermédiaire.

Réaction du support et frottement statique

Dans de nombreux problèmes simples, la réaction du support est perpendiculaire à la surface de celui-ci. Ceci n'est en fait vrai que pour un objet immobile sur une surface sans frottement. Ainsi, par exemple, supposons un objet posé sur un plan incliné parfaitement glissant (ou bien une boule pouvant rouler sans frottement) et retenu par un câble, alors la réaction du support est bien perpendiculaire à celui-ci.

Mais le cas est différent dans le cas d'un objet immobile sur un plan incliné, sans câble, retenu uniquement par frottement ; la réaction $\vec{R}$ du support compense alors seul le poids. Dans ce cas-là, on peut décomposer la réaction en une composante $\vec{R_n}$ perpendiculaire au support, et une composante $\vec{R_f}$ parallèle au support. $\vec{R_f}$ est appelée force de frottement statique.

Image manquante
Reaction_support_avec_et_sans_frottement.png
Image:Reaction support avec et sans frottement.png

Nous présentons ci-dessous un autre cas où la réaction n'est pas perpendiculaire au support.

Image manquante
Reaction_support_avec_frottement.png
Image:Reaction support avec frottement.png

L'intensité de la force de frottement est déterminée par le loi de Coulomb.

Levier, moment d'une force

Un levier est une barre rigide pivotant autour d'un point fixe. Le pivot peut être situé à une extrémité, au milieu, ou bien à n'importe quel endroit du levier. Le levier permet de démultiplier la force, par exemple de soulever un objet lourd avec une force réduite.

Notons qu'il ne s'agit plus vraiment là de mécanique du point puisque l'on étudie la rotation d'un objet, le levier, que l'on ne peut réduire à un point (d'ailleurs, la rotation d'un point n'a pas de sens). C'est l'équilibre de l'objet placé au bout du levier qui nous intéresse, mais ceci nécessite de s'intéresser au levier en lui-même.

Supposons le cas où l'on veut lever un objet. Le levier est soumis à trois forces :

l'action $\vec{F_1}$ de l'objet (qui est égale à son poids)
l'action $\vec{F_2}$ de la personne sur le levier
l'action $\vec{R}$ du pivot sur le levier.

À l'équilibre, la somme des trois forces s'annulent,

$\vec{F_1} + \vec{F_2} + \vec{R} = \vec{0}$

mais cela ne suffit pas à étudier le problème : on ne sait pas quelle est la répartition des forces entre l'action du pivot et l'action de la personne. On introduit pour cela la notion de moment par rapport au pivot.

Le moment d'une force $\vec{F}$ s'exerçant au point A par rapport au pivot P est le nombre algébrique $M_{\vec{F}/P}$ dont la valeur absolue vaut

$|M_{\vec{F}/P}| = ||\vec{F}|| \cdot d$

où d est la distance du pivot à la droite portant le vecteur force ; le moment est positif si la force tend à créer une rotation dans le sens positif (sens inverse des aiguilles d'une montre.). La longueur d est appelée bras de levier.

On peut à l'aide de cette notion énoncer le loi de l'équilibre en rotation :

Un objet levier est en équilibre de rotation par rapport à un pivot si la somme des moments des forces par rapport à ce pivot est nulle.

On a donc maintenant une deuxième équation qui va permettre de déterminer $\vec{F_1}$ et $\vec{F_2}$ :

$M_{\vec{F_1}/P} + M_{\vec{F_2}/P} + M_{\vec{R}/P} = 0$

On peut déjà dire que $M_{\vec{R}/P} = 0$ , on a donc

$M_{\vec{F_1}/P} + M_{\vec{F_2}/P} = 0$

Si d₁ est le bras de levier de $\vec{F_1}$ et d₂ le bras de levier de $\vec{F_2}$ , alors on a

F₁ · d₁ = F₂ · d₂

donc si d₂ > d₁, alors F₁ > F₂. On voit donc que si le bras de levier est plus long du côté de la personne que du côté de l'objet, la personne devra faire un effort réduit pour maintenir l'équilibre (c'est-à-dire concrètement pour soulever l'objet) : la force exercée par le pivot sur le levier participe à soulever l'objet. Dans le cas contraire, l'objet sera plus difficile à soulever qu'à la main directement. L'image ci-dessous montre deux manières de soulever une commode en s'aidant d'un levier : en prenant appui sur le sol (figure du haut, le pivot est à l'extrémité du levier) ou bien sur un objet intermédiaire (figure du bas, le pivot est situé sur le levier).

Image manquante
Levier_soulever_commode.png
Image:levier soulever commode.png

Les balances à masse coulissante utilisent ce principe pour peser.

Notez bien qu'il faut que les moments soient tous calculés par rapport au même pivot. Par exemple, si l'on a deux leviers agissant l'un sur l'autre mais pivotant chacun sur un point différent, on ne peut pas écrire l'égalité des moments au point de contact.

Poulie

On peut faire changer cette force de direction à l'aide d'une poulie. La poulie est en soi un objet qui est soumis à des forces ; si elle est à l'équilibre (elle ne bouge pas, ne tourne pas), alors la somme des forces est nécessairement nulle, et la force de leurs moments est elle aussi nulle.

poulie, démultiplication des forces (cabestan, levier).

Condition sur l'énergie potentielle

Dans le cas où l'objet est soumis à un ensemble de forces conservatives, la position d'équilibre est obtenue quand l'énergie potentielle est maximale ou minimale, c'est-à-dire quand :

$\vec{\nabla} \, E_p = \vec{0}$

Statique d'un solide

Moment des forces.

Principe Fondamental de la Statique (PFS)

Un système soumis aux Actions Mécaniques modélisées par les torseurs $\{\mathcal{T}_{(1->S)}\}$ ; $\{\mathcal{T}_{(2->S)}\}$ ; $\{\mathcal{T}_{(3->S)}\}$ ..., est en équilibre si la somme de ces torseurs (explicitées par rapport à un même point A, et dans le même repère) est égal au torseur Nul.

_A $\{\mathcal{T}_{(1->S)}\}$ + _A $\{\mathcal{T}_{(2->S)}\}$ + _A $\{\mathcal{T}_{(3->S)}\}$ + ... + _A $\{\mathcal{T}_{(n->S)}\} = \{0\}$

Théorème de la résultante :

$\overrightarrow{R_{1->S}} + \overrightarrow{R_{2->S}} + \overrightarrow{R_{3->S}} + ... + \overrightarrow{R_{n->S}} = \overrightarrow{0}$

Théorème du moment :

$\overrightarrow{m}_{A(1->S)} + \overrightarrow{m}_{A(2->S)} + \overrightarrow{m}_{A(3->S)} + ... + \overrightarrow{m}_{A(n->S)} = \overrightarrow{0}$

Voir aussi

Mécanique du point
mécanique des solides
Torseur