Fonction δ de Dirac

La fonction δ de Dirac, introduite par Paul Dirac, peut être informellement considérée comme une fonction δ qui prend une « valeur » infinie en 0, et la valeur zéro partout ailleurs, et dont l'intégrale sur ℝ est égale à 1. La représentation graphique de la fonction δ peut être assimilée à l'axe des abscisses en entier et le demi axe des ordonnées positives. D'autre part, δ correspond à la « dérivée » de la fonction d'étape de Heaviside (au sens des distributions). Mais cette fonction de Dirac n'est pas une fonction, elle étend la notion de fonction.

La fonction δ de Dirac est très utile comme approximation de fonctions dont la représentation graphique a la forme d'une grande pointe étroite. C'est le même type d'abstraction qui représente une charge ponctuelle, une masse ponctuelle ou un électron ponctuel. Par exemple, pour calculer la vitesse d'une balle de tennis, frappée par une raquette, nous pouvons assimiler la force de la raquette frappant la balle à une fonction δ. De cette manière, nous simplifions non seulement les équations, mais nous pouvons également calculer le mouvement de la balle en considérant seulement toute l'impulsion de la raquette contre la balle, plutôt que d'exiger la connaissance des détails de la façon dont la raquette a transféré l'énergie à la balle.

Sommaire

Introduction formelle

La fonction δ de Dirac est souvent présentée avec la propriété :

pour toute fonction continue f, \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \, \delta(x) \, dx = f(0)

Cependant, il n'existe aucune fonction δ vérifiant cette propriété.
Techniquement parlant, la fonction δ de Dirac n'est pas une fonction mais une distribution ; un objet mathématique qui s'intègre sur toutes les fonctions à support compact de classe C^{\infty}, appelées fonctions test. En tant que distribution, la fonction δ de Dirac est définie par :

pour tout fonction test φ, \langle\delta,\phi\rangle = \phi(0)

Il s'agit d'une distribution à support compact (le support étant {0}).
Il est également commode de penser à δ en tant qu'opérateur fonctionnel, défini par :

δ(f) = f(0)

et qui retourne pour chaque fonction test f la valeur de f en 0.
La distribution δ de Dirac est la dérivée de la fonction d'étape de Heaviside H, définie par :

pour tout réel x, H(x) = \left\{ \begin{matrix} 0 \rm{\,si\,} x < 0 \\ \frac{1}{2} \rm{\,si\,} x = 0 \\ 1 \rm{\,si\,} x > 0 \end{matrix} \right.

en définissant la notion de « dérivée » dans le sens de la théorie des distributions. (En utilisant la définition ordinaire de la dérivée, H n'est pas différentiable en x = 0.)

Transformée de Fourier

La transformée de Fourier de la fonction δ de Dirac est la fonction constante 1, et la convolution de δ avec n'importe quelle distribution S redonne S.
La dérivée de la fonction δ de Dirac est la distribution δ' définie par :

pour toute fonction de test φ, \langle\delta', \phi\rangle = -\phi'(0)

La dérivée nième de δ, δ (n) est donnée par :

\langle\delta^{(n)}, \phi\rangle = (-1)^n \phi^{(n)}(0)

Les dérivées de δ de Dirac sont importantes parce qu'elles apparaissent dans la transformation de Fourier des polynômes.
Une identité utile est

\delta(g(x)) = \sum_{i}\frac{\delta(x-x_i)}{|(g'(x_i)|}

où les xi sont les racines (supposées simples) de la fonction g(x). Elle est équivalente à la forme intégrale :

\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \, \delta(g(x)) \, dx = \sum_{i}(\frac{f(x_i)}{|(g'(x_i)|})

Représentations de la fonction δ

Généralités

La fonction δ peut être regardée comme limite d'une suite (δa) de fonctions

\delta (x) = \lim_{a\to 0} \delta_a(x),

Certains appellent de telles fonctions δa des fonctions « naissantes » de δ.

Celles-ci peuvent être utiles dans des applications spécifiques.
Mais si la limite est employée de manière trop imprécise, des non-sens peuvent en résulter, comme d’ailleurs dans n'importe quelle branche de l’analyse en mathématique.

La notion d’approximation de l’unité, a une signification particulière en analyse harmonique, en rapport avec la limite d’une suite qui converge vers un élément neutre pour l'opération de convolution (sur des groupes comme par exemple le groupe unité). Ici l’hypothèse et faite que la limite est celle d’une suite de fonctions positives.

Exemple élémentaire

Pour les non-mathématiciens, la «dérivation» de la fonction de Heaviside ou fonction unité, ou fonction échelon, qui conduit au deuxième exemple donné dans le paragraphe suivant, offre une bonne introduction à la fonction de Dirac ou impulsion.

Pour cela, on considère une suite de fonctions définies par

H_a(x-x_0) = 0 \mbox{   si } x \le x_0-a H_a(x-x_0) = {1 \over 2} (1 + {x - x_0\over a}) \mbox{   si } x > x_0-a \mbox{ et } x < x_0 + a

H_a(x-x_0) = 1 \mbox{   si } x \ge x_0+a
Image manquante
Echelon_et_impulsion.png


Les dérivées δa(x) valent 1 / 2a entre x0-a et x0+a : l'aire enfermée par la courbe vaut 1.

A partir de là, on peut écrire

\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \delta_a(x-x_0) dx = \lim_{a \to 0} \int_{x_0-a}^{x_0+a} f(x) {1 \over 2a} dx

Il existe donc un nombre c compris entre x0-a et x0+a tel que

\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \delta_a(x-x_0) dx = \lim_{a \to 0} \int_{x_0-a}^{x_0+a} f(c) {1 \over 2a} dx

Cette expression se réduit à f(c) qui tend vers f(x0) lorsque a tend vers 0, ce qui démontre pour la fonction de Dirac l'équation de définition de la distribution de Dirac :

\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \delta(x-x_0) dx = f(x_0)

Autres exemples

Quelques fonctions de limite δ sont :

\delta_a(x) = \frac{1}{\pi} {a \over a^2 + x^2}
\delta_a(x) = \left\{ \begin{matrix} \frac{1}{2a} \rm{\,si\,} -a < x < a \\ 0 \mathrm{\,sinon} \end{matrix} \right.
\delta_a(x)=\frac{1}{a\sqrt{\pi}} \mathrm{e}^{-x^2/a^2}
\delta_a(x)=\partial_x \frac{1}{1+\mathrm{e}^{-x/a}}              =-\partial_x \frac{1}{1+\mathrm{e}^{x/a}}
\delta_a(x)=\frac{a}{\pi x^2}\sin^2\left(\frac{x}{a}\right)
\delta_a(x)=\frac{1}{\pi x}\sin\left(\frac{x}{a}\right)              =\frac{1}{2\pi}\int_{-1/a}^{1/a}               \cos (k x)\;dk
\delta_a(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm{e}^{\mathrm{i} k x-a |k|}\;dk
\delta_a(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}a x^2 + \mathrm{i} k x }\;dk

Applications

Probabilités

Une densité de probabilité, par exemple celle de la loi normale, est représentée par une courbe qui enferme une aire égale à 1. Si on fait tendre sa variance vers 0, on obtient à la limite un delta qui représente la densité de probabilité d'une variable certaine avec la probabilité 1. Il s'agit là d'une curiosité qui présente un intérêt pratique limité mais elle se généralise d'une manière intéressante.

La manière la plus simple pour décrire une variable discrète qui prend des valeurs appartenant à un ensemble dénombrable consiste à utiliser sa fonction de probabilité qui associe une probabilité à chacune des valeurs. On peut aussi considérer une pseudo-densité de probabilité constituée par une somme de fonctions de Dirac associées à chacune des valeurs avec un poids égal à leurs probabilités. Dans ces conditions, les formules intégrales qui calculent les espérances des variables continues s'appliquent aux variables discrètes en tenant compte de l'équation rappelée ci-dessus.

Analyse des enregistrements

Pour déterminer le contenu de l'enregistrement d'un phénomène physique en fonction du temps, on utilise généralement la transformation de Fourier. De nos jours, les enregistrements analogiques continus de phénomènes physiques ont cédé la place à des enregistrements numériques échantillonnés avec un certain pas de temps.

La multiplication d'une fonction continue par un «peigne de Dirac», somme de deltas équidistants, a une transformée de Fourier égale à l'approximation de celle de la fonction d'origine par la méthode des rectangles. En utilisant un développement en série de Fourier du peigne, on montre que le résultat donne la somme de la transformée vraie et de toutes ses translatées par la fréquence d'échantillonnage. Si celles-ci empiètent sur la transformée vraie, c'est-à-dire si le signal contient des fréquences supérieures à la moitié de la fréquence d'échantillonnage, le spectre est replié. Dans le cas contraire il est possible de reconstituer exactement le signal par la formule de Shannon.

See also: Fonction δ de Dirac, Distribution (analyse mathématique), Fonction (mathématiques), Fonction d'étape de Heaviside, Fonction polynôme, Intégrale, Loi normale, Paul Dirac, Peigne de Dirac, Produit de convolution