Optique géométrique

L'optique géométrique est la branche de l'optique qui traite la propagation de la lumière en termes de rayons lumineux. Historiquement, elle s'est développée avant que l'on connaisse la nature ondulatoire de la lumière. En pratique, elle est valide dans les situations où toutes les dimensions des objets considérés sont plus grandes que quelques dizaines de micromètres. Elle ne tient pas compte de phénomènes tels que les interférences ou la diffraction.

L'interaction de la lumière avec la matière est réduite à un paramètre phénoménologique : l'indice de réfraction n. Ainsi, il est possible d'utiliser et d'étudier l'optique à partir de la constatation expérimentale des lois de Snell-Descartes :

Propagation rectiligne dans des milieux homogènes.
Déviation de la direction de propagation au passage d'un milieu à un autre milieu d'indice différent : la réfraction.

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GonioX.jpg

Cet article de science fait
partie de la série physique

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Formulaire

Vision d'un objet

L'optique géométrique s'intéresse à la propagation de la lumière et utilise fréquemment la notion d'image. Ceci renvoie à la vision d'un objet par les humains.

Les humains perçoivent la lumière par leurs yeux. Les objets modifient la lumière qu'ils reçoivent (du Soleil, d'une ampoule, d'une bougie...) en changeant la couleur de cette lumière ; certains objets émettent leur propre lumière (lampe, produit fluorescent ou phosphorescent). Ces rayons « colorés » frappent l'œil et forment une image sur sa rétine; cette image est interprétée par le cerveau. Un seul œil suffit pour voir ; un être humain a deux yeux, qui sont légèrement décalés.

Ainsi, chaque œil voit une scène sous un angle légèrement différent, les deux images formées dans les yeux sont donc légèrement différentes. C'est le décalage entre ces deux images qui permettent d'avoir une vision stéréoscopique et ainsi d'apprécier la distance d'un objet : si un objet est proche, les deux images seront très décalées, si un objet est loin, les images seront quasiment superposées.

Considérons les rayons réémis ou émis par l'objet et qui frappent chacun des yeux. L'angle que font ces rayons avec la direction du regard varie, c'est cette différence d'angle, appelée « parallaxe », qui permet au cerveau d'analyser la distance.

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Image:vision parallaxe.png

Bases de l'optique géométrique

L'optique géométrique considère la propagation de la lumière dans des milieux transparents homogènes et isotropes, et lors de changements de milieux. L'interface entre deux milieux homogènes séparés par une surface nette est appelée « dioptre ».

L'optique géométrique s'appuie sur les constatations expérimentales suivantes :

dans un milieu homogène et isotrope, la lumière va en ligne droite ;
lorsqu'elle atteint la surface d'un changement de milieu, la lumière est déviée et séparée en deux rayons :
- une partie de ces rayons « ricoche » et se propage après en ligne droite dans le milieu d'origine, c'est le rayon réfléchi (phénomène de réflexion) ;
- l'autre est dévié et se propage après en ligne droite dans le second milieu, c'est le rayon réfracté (phénomène de réfraction).

Le rayon qui arrive sur le dioptre est quant à lui appelé rayon incident ;

principe du retour inverse : si l'on inverse le sens de propagation de la lumière, le rayon suit exactement le même trajet.

Il n'y a pas toujours de réfraction, mais il y a presque toujours réflexion. La proportion de lumière réfléchie et réfractée varie ; une partie de la lumière peut être absorbée par le milieu (et dissipée sous forme de chaleur).

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Image:reflexion diffraction.png

L'optique géométrique part des lois phénoménologiques de Descartes (pour les francophones) ou de Snell (pour les anglophones), disons donc des lois de Descartes-Snell sur la réflexion et la réfraction et du constat que dans un milieu homogène (et transparent) la lumière va en ligne droite.

Ensuite, il suffit de faire de la géométrie respectant ces lois pour obtenir toutes les formules de base de l'optique géométrique concernant les miroirs, les dioptres et les lentilles ou leurs combinaisons en doublet constituant ainsi des instruments d'optique dits du visible.

Une synthèse miroir-dioptre-lentille est obtenue en appliquant la formule de Descartes et du Grandissement.

Réflexion et miroirs

Dans la présente section, nous ne nous intéressons pas aux rayons diffractés, ceux-ci ne seront pas présentés, mais il faut garder à l'esprit qu'ils existent quand même.

Certains dispositifs, appelés miroirs, sont conçus pour maximiser la réflexion et minimiser la réfraction et l'absorption.

Les premiers miroirs ont été fabriqués en polissant du métal. Pour éviter les problèmes d'oxydation du métal tout en gardant une bonne rigidité, on utilise maintenant en général une fine feuille de métal accolée à une plaque de verre. Dans ce dernier cas, il y a un phénomène de réflexion et de réfraction dans la plaque de verre avant d'atteindre la feuille métallique, protégée au dos par un revêtement appelé tain, mais le verre étant assez mince, ces phénomènes annexes sont en général négligés.

Il existe d'autres types de miroirs, basés sur la réflexion totale ou sur des phénomènes interférentiels (on parle alors de filtres).

Dioptre plan, première loi de Descartes

Supposons un dioptre plan, et considérons la normale à ce plan. On appelle angle d'incidence ( $θ i$ ) l'angle que fait le rayon incident avec cette normale. On appelle angle de réflexion ( $θ i$ ) l'angle que fait le rayon réfléchit avec cette normale. Alors,

l'angle de réflexion est égal à l'angle d'incidence

θ i = θ r

(en valeur absolue) ou

θ i = θ r

(en valeur algébrique)

Ceci est la première loi de Descartes.

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Reflexion_dioptre_plan.png
Image:reflexion dioptre plan.png

Image miroir et symétrie plane

Pour le cerveau, peu importe la position réelle de l'objet, ce qui importe, c'est la direction des rayons qui frappent les yeux. Ainsi, le cerveau ne sera pas capable de faire la différence entre les deux situations présentées dans l'illustration ci-dessous :

illustration de gauche : les rayons provenant de l'objet sont réfléchis par le dioptre ;
illustration de droite : les rayons proviennent directement de l'objet.

Un appareil de mesure optique (caméra) placé à l'endroit de l'observateur ne sera pas non plus capable de faire la différence.

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Image:image miroir stéréo.png

Dans le cas où les rayons sont réfléchis par un dioptre, le cerveau aura la même impression que si la position réelle de l'objet était le symétrique par rapport au plan du dioptre, ce qui provoque une inversion des rotations. En optique, on dit que

l'image de l'objet dans un miroir plan (ou par réflexion dans un dioptre plan) est obtenu en prenant la symétrie plane de cet objet par rapport au miroir (ou au dioptre).

On simplifie souvent le schéma en ne représentant qu'un seul rayon, comme dans l'illustration ci-dessous ; cependant, on ne représente pas dans ce cas la différence de parallaxe, primordiale pour l'appréciation de la distance.

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Image_miroir_mono.png
Image:image miroir mono.png

Réflexion sur un dioptre courbe

Si le dioptre est courbe, alors localement, on peut assimiler la surface à son plan tangent. On considère alors la réflexion sur ce plan tangent, dont la normale est commune au dioptre.

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Image:reflexion_dioptre_courbe.png

Pour aller plus loin...

Miroir

Réfraction, lentilles et prismes

Dans la présente section, nous ne nous intéressons qu'aux rayons réfractés, seuls ceux-ci seront représentés. Mais il faut savoir qu'il y a toujours des rayons réfléchis (c'est le fameux reflet du Soleil dans le viseur du fusil qui trahit le tireur embusqué dans les films).

Dioptre plan, indice du milieu et loi de Snell-Descartes

À chaque milieu transparent, on associe une valeur nommée indice de réfraction et notée n, qui caractérise les propriétés optiques de la matière. On supposera que les milieux sont homogènes et isotropes, c'est-à-dire que la valeur de n ne dépend que du milieu, pas de la position dans le milieu ni de la polarisation de la lumière.

Si le dioptre est plan, les angles d'incidence et de réfraction sont reliés par la seconde loi de Descartes, encore appelée loi de Snell-Descartes :

$n_1 \sin \left(\theta_i\right) = n_2 \sin \left(\theta_r\right)$

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Image:refraction_optique_geo.png

La valeur du sinus étant compris entre -1 et 1, il existe des situations pour lesquelles cette loi ne peut pas être respectée. Dans ces cas-là, il n'y a pas de réfraction, la totalité de la lumière est réfléchie ou absorbée. On parle de réflexion totale.

Dioptre courbe, lentilles

Comme dans le cas de la réflexion, si le dioptre est courbe, on applique la loi de Snell-Descartes localement en considérant le plan tangent au dioptre à l'endroit considéré.

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Image:refraction dioptre courbe.png

On utilise en optique des dispositifs appelés lentilles, qui sont une succession de deux dioptres sphériques. Certaines lentilles concentrent la lumière, ce sont les lentilles convergentes ; d'autres dispersent la lumière, ce sont les lentilles divergentes.

On appelle axe optique l'axe de symétrie des lentilles, c'est-à-dire la droite reliant les centres des deux dioptres sphériques. On appelle centre optique le milieu de la lentille, c'est-à-dire le point de l'axe situé à mi-chemin entre les deux dioptres dans la lentille. Si l'on suppose que :

l'épaisseur de la lentille est petite devant le rayon des dioptres ;
les rayons sont proches de l'axe optique : ils passent à proximité du centre optique, et sont peu inclinés par rapport à l'axe optique ;

alors, on peut appliquer l'approximation dite des lentille mince, qui permettent de simplifier considérablement les calculs. Ces hypothèses sont aussi appelées conditions de Gauss.

La lentille est alors considérée comme étant indéfiniment mince (elle est représentée par un trait), et comme ayant un unique paramètre : la distance focale f.

Les rayons, après avoir été déviés par la lentille, frappent les yeux. Pour le cerveau, peu importe la position réelle de l'objet, ce qui importe, c'est la direction des rayons qui frappent les yeux. Ainsi, le cerveau ne sera pas capable de faire la différence entre les deux situations présentées dans l'illustration ci-dessous (l'objet est représenté par une flèche) :

illustration de gauche : les rayons provenant de l'objet sont déviés par les dioptres de la lentille ;
illustration de droite : les rayons proviennent directement de l'objet.

L'objet que reconstruit le cerveau est appelé image. Un appareil de mesure optique (caméra) placé à l'endroit de l'observateur ne sera pas non plus capable de faire la différence.

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Image:lentille convergente regard.png

Tant que l'on respecte les hypothèses des lentilles minces (c'est-à-dire tant que l'on regarde à travers la lentille sans trop s'éloigner de l'axe optique), on verra l'image à la même taille et au même endroit. Ainsi, on peut retrouver l'image par construction géométrique à partir de deux rayons arbitraires, qui ne sont pas forcément ceux qui vont frapper les yeux de l'observateur. L'intérêt des lentilles, c'est que l'on a trois rayons qui se comportent de manière simple ; donc, pour construire l'image, il suffit de considérer deux de ces trois rayons. Il nous faut pour cela considérer quelques propriétés des lentilles minces. Pour simplifier, nous ne considérerons que les lentilles dites « convergentes ».

Foyer

Si l'on éclaire une lentille convergente avec un faisceau de lumière parallèle, et parallèle à l'axe optique, alors le faisceau se concentre en un point F appelé foyer. C'est cette propriété qui est utilisée pour allumer un feu avec une loupe. Donc, tout rayon parallèle à l'axe optique passe par le foyer. La distance f du centre optique au foyer est appelée distance focale.

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Image:foyer lentille convergente.png

On a en fait deux foyers situés symétriquement de chaque côté de la lentille :

le foyer objet, situé avant la lentille (dans le sens de propagation des rayons),
et le foyer image, situé après.

La notion de foyer objet ou image dépend uniquement du sens de propagation de la lumière. Les plans parallèles au plan de la lentille et passant par les foyers sont appelés plan focaux. Il y a donc un plan focal image et un plan focal objet.

Construction géométrique

Des définitions ci-dessus, on déduit les points suivants :

Tout rayon parallèle à l'axe optique avant la lentille, passe par le foyer image après avoir été dévié par la lentille ; c'est donc le premier rayon au comportement simple que l'on peut utiliser.
Par la loi du retour inverse, on déduit que si un rayon passe par le foyer objet avant la lentille, il ressort de la lentille en étant parallèle à l'axe optique. C'est le deuxième rayon au comportement simple que l'on peut utiliser.
Enfin, un rayon qui passe par le centre optique de la lentille n'est pas dévié. C'est le troisième rayon au comportement simple que l'on peut utiliser.

L'animation ci-dessous montre que deux rayons suffisent pour déterminer la position de l'image en fonction de la position de l'objet:

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Image:LentilleConvergente.gif

La figure ci-dessous représente la construction d'une image pour deux positions de l'objet par rapport à la lentille. On remarque que selon la distance à la lentille, l'image apparaît plus grande que l'objet original (figure de gauche) ou bien plus petite (figure de droite), elle peut apparaître plus loin de l'observateur (figure de gauche) ou bien plus proche (figure de droite), elle peut apparaître dans le même sens (figure de gauche) ou bien inversée (figure de droite).

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Image:lentille convergente construction.png

La construction d'une image par une lentille divergente se fait de la même manière, sauf que les foyers (et donc les plans focaux) objet et image sont inversés : le foyer objet se trouve après la lentille, et le foyer image se trouve avant (dans le sens de propagation de la lumière).

Pour en savoir plus...

Image, stigmatisme et grandissement

Tous les systèmes optiques (miroirs, dioptres, lentilles ou combinaison de ces éléments) dévient la lumière. Si une personne regarde un objet à travers un système optique, son cerveau analysera la présence d'un objet d'une certaine taille et situé à une certaine distance ; cet objet fictif est l′image. Dans le cas d'une succession de plusieurs éléments, l'image produite par un élément devient l'objet pour l'élément suivant ; par exemple, si l'on met deux lentilles l'un après l'autre, l'objet produit une première image par la première lentille, et on peu considérer cette image comme un objet (fictif) mis devant la seconde lentille pour trouver l'image finale. Il ne s'agit là que d'une construction mentale, l'image intermédiaire n'existe pas puisque les rayons qui la forment ne sont pas perçus directement par un humain, mais sont déviés par le seconde lentille avant d'être perçus.

On peut, par l'optique géométrique, construire l'image pour tout système optique, d'une manière similaire à ce qui a été fait ci-dessus pour la lentille convergente.

Dans le cas de la lentille, nous avons vu que tous les rayons issus d'un point (la pointe de la flèche dans l'illustration) convergeaient en un autre point, un point de l'image. On a donc une image bien nette, chaque point de l'image correspondant à un point de l'objet. Un système optique qui respecte ceci est dit stigmatique. En revanche, certains systèmes optiques dévient les rayons de sorte que les rayons issus d'un même point ne convergent pas ; l'image obtenue est alors floue, les points apparaissent comme des taches, le système est dit astigmatique. Un bon exemple d'un système astigmatique est le dioptre plan : si vous observez vos pieds dans une piscine, vous verrez que l'image est floue. Ce qui intéresse en général les utilisateurs de système optique (photographe, cinéaste, vidéo-amateur, microscopiste, astronome...) est d'avoir une image nette, donc un système stigmatique.

Si le système est stigmatique, on peut trouver par construction la taille de l'image. Le grandissement du système est alors le rapport Γ entre la taille de l'image et la taille de l'objet. La construction géométrique permet de calculer ce grandissement, en fonction des distances focales et des distances des objets aux centres optiques.

Instrumentation de mesures physiques

Les mesures standard des distances (avec une règle graduée ou un instrument plus précis) trouvent leurs limites lorsque les distances mesurées sont particulièrement grandes, ou au contraire extrêmement faibles. L'optique, par la connaissance du grossissement d'un télescope ou par la puissance du microscope, permettra d'accéder à de bonnes approximations du diamètre de la Lune ou de celui d'un cheveu.

Correction de la vision

Si un œil est trop convergent, disons qu'il a trois dioptries en trop,

cet œil est myope; il voit net à D=1/3 de mètre sans accommoder et en supposant que par accommodation, cet œil peu augmenter le nombre de dioptries de 5, il peut voir alors net aussi près que d=1/8 de mètre.

On peut corriger cet œil en mettant un verre correcteur (ou une lentille de contact) ayant moins trois dioptries (divergente); l'œil corrigé alors voit net à l'infini sans accommoder comme un œil normal et en accommodant avec la correction, il verra net jusqu'à d=1/5 de mètre.

Un œil dit emmétrope voit net sans accommoder à l'infini (>à 6 mètres) et en accommodant jusqu'à 1/A mètre si A est le nombre de dioptries qu'il peut avoir en plus en accommodant.
Un œil est dit hypermétrope si son œil est faible en dioptries, disons par exemple qu'il lui manque trois dioptries; il lui faut donc utiliser une partie (3)de son accommodation pour voir net à l'infini; et du coup en accommodant au maximum, jusqu'à 5 dioptries, il ne verra net que jusq'à d=1/2 mètre ! Cet œil se fatiguera vite en lisant.

$\frac{1}{d}=A+ \frac{1}{D}$ cette formule résume les trois cas de vision

D>0 œil est myope
D est infini l'œil est emmétrope (=normal)
D<0 l'œil est hypermétrope

La myopie est de nos jours un atout pour ceux qui lisent beaucoup ! Et les enfants qui n'aiment pas lire sont parfois tout simplement hypermétropes sans que leur entourage le détecte.

En vieillissant, l'œil perd ses capacités d'accommodation, on dit qu'il devient presbyte; la latitude de mise au point diminue ; ainsi supposons que l'accommodation ne soit plus que de une dioptrie:

pour le myope, il voit net entre 1/3 de mètre et 1/4 de mètre
l'œil normal voit net entre l'infini et 1/1 mètre
œil hypermétrope ne voit net nulle part

On corrige la presbytie en utilisant des verres convergents pour voir net de près ; seul le myope n'en aura pas besoin. La cataracte, qui est l'opacification du cristallin, s'opère en remplaçant le cristallin par une lentille, mais avec perte de toute accommodation.

Image

Un dicton dit que « une image est plus que mille mots » ; ceci exprime clairement qu’une image est riche en information et en utilisant la notion de pixel qui est devenue courante avec les appareils photo numériques, une image est constituée de millions de pixels ou petits carrés élémentaires ayant chacun une couleur avec une luminosité. L'image est pixelisée et si l'œil ne discerne pas les pixels lorsqu’ils sont suffisamment petits, l'image est alors perçue comme continue. Les pixels sont avec un niveau de gris si on ne préoccupe pas de la couleur, on dit que l'on a une image en niveau de gris (images dites à tort en noir et blanc : les journaux sont en noir et blanc les niveaux de gris étant alors produits par la densité de pixels noirs)

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En optique géométrique élémentaire, puisqu'on travaille sur des pages ou écrans blancs, on schématise un objet simple par un segment trait noir d'extrémité A et B ou vecteur AB et son image produite par un instrument par un autre segment trait noir ou vecteur A'B'.

La lumière est représentée par des traits droits dénommés rayons (en noir sur fond de page blanche!) qui partent des extrémités B de l'objet et qui changent de direction lorsque ils rencontrent un instrument souvent simplement représenté par un segment perpendiculaire à l'axe du système optique lorsque il s'agit de lentilles minces. Sur la représentation ci-contre l'axe horizontal est l'axe optique les lentilles sont en gris et vues de profil et Bi est l'image de B parce que les rayons issus de B passent par Bi après avoir traversé l'instrument.

Optique physique

Au passage d'un dioptre l'onde est à la fois réfractée et réfléchie et l'optique géométrique ne se préoccupe pas d'en déterminer les intensités. La réflexion et la réfraction n'ont pas lieu par un coup de baguette magique à la surface du dioptre ou du miroir; les atomes du matériau absorbent et reémettent la lumière en formant les faisceaux réfractés et réfléchis dont les intensités dépendent de l'angle d'incidence et de la polarisation. Pour un seul photon, on ne peut que prédire sa probabilité d'être réfléchis ou transmis. À lire absolument sur ce sujet le livre des conférences de vulgarisation de Feynman: « Lumière et matière » L'optique géométrique, qui utilise la notion de « rayon lumineux », est une approximation du comportement des ondes électromagnétiques (la lumière) dans la limite où les objets rencontrés et où la taille du faisceau sont grands devant la longueur d'onde. Ceci permet de négliger la diffraction, comportement lié à la nature ondulatoire de la lumière. Cette approximation est appelée approximation de l'Eikonale - elle permet de dériver l'optique géométrique à partir des équations de Maxwell.

Voir aussi

réfraction - Dioptre - Doublet - Lentille - Synthèse miroir-dioptre-lentille - Optique - Miroir - Stigmatisme - Focalisation (optique)