Paradoxe de Banach-Tarski
Le paradoxe de Banach-Tarski montre qu’il est possible de couper une boule de 
en un nombre fini de morceaux et de réassembler ces morceaux pour former deux boules identiques à la première, à une isométrie près. Cela montre qu’il existe des morceaux non-mesurables, sans quoi on obtiendrait une contradiction (la longueur, la surface ou le volume étant des exemples de mesures). Cela remet en cause notre notion intuitive de volume, puisque il n’y pas de « création » de matière, donc il existe des parties de l’espace () pour lesquelles la notion de mesure (et donc de volume) n’a pas de sens. Pour avoir une idée approchée intuitive de ce qui se passe, il faut se dire que cela est aussi « paradoxal » que de dire que l’intervalle [0, 1] contient « autant » de points que 
tout entier.
La démonstration de ce paradoxe utilise l’axiome du choix, qui a été et est toujours contesté par un certain nombre de mathématiciens. Par ailleurs, toute tentative pour exhiber des ensembles non mesurables utilise cet axiome. En d’autre termes, ou bien on considère que l’axiome du choix est faux, ou bien il faut admettre qu’il existe des ensembles non mesurables.
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Quelques explications préliminaires « en français »
Le groupe des isométries est simplement l’ensemble de toutes les translations ou rotations et de leur composées, c’est-à-dire l’ensemble de toutes les manières de prendre une figure dans l’espace et de la déplacer ou de la faire tourner sur elle même sans la déformer (et en particulier sans changer sa taille). Une isométrie peut se voir comme une fonction mathématique g et une figure comme un ensemble de points E. Dire qu’il existe un ensemble F tel que g(E) = F, c’est simplement dire en gros que E et F ont la même forme et la même taille, bref qu’ils sont identiques à leur position près. Deux ensembles sont donc équidécomposables si on peut couper le premier en morceaux et reconstruire le deuxième simplement en déplaçant les morceaux (c’est-à-dire en leur appliquant une isométrie). Un ensemble est dédoublable s’il est équidécomposable à une « moitié » de lui même (ne surtout pas chercher à voir à quoi ça peut ressembler...).
Une mesure est en gros une fonction mathématique qui satisfait aux mêmes conditions qu’une longueur. C’est donc une généralisation de la longueur (ou du volume). Un bon exemple de mesure est la mesure de Lebesgue : si on veut mesurer un intervalle, on prend sa longueur et si on a un ensemble « en plusieurs morceaux », on prend la somme de la longueur de chacun des morceaux. Par exemple, si vous avez deux bouteilles d’un litre de vin posées à deux endroits différents, physiquement vous avez deux objets distincts. C’est ici que le volume montre « ses limites ». Mais mathématiquement vous pouvez sans sourciller considérer que ces deux bouteilles ne forment qu’un seul et même objet dont le volume est 2 litres. Et ça c’est typiquement une mesure. En gros les deux propriétés d’une mesure, c’est que si on mesure un truc vide ça nous donne 0, et si on mesure un ensemble constitué de plusieurs « objets », la mesure du tout est la somme des mesures de chacun des objets. Ce que dit ce paradoxe c’est qu’on peut construire des ensembles suffisamment tordus pour qu’on ne puisse pas les mesurer, c’est-à-dire qu’on ne peut pas leur associer une valeur en général (ou un volume ou une longueur en particulier) sans violer les deux propriétés évoquées plus haut. Plus précisément, si on essaie de trouver une manière de leur associer un volume, on peut prouver qu’en continuant d’appliquer cette méthode on trouvera une partie qui a le même volume que le tout, ou un verre à gnôle qui a le même volume qu’un camion citerne, ce qui est évidemment absurde. Donc on est forcé de reconnaitre que le volume d’un tel ensemble n’existe pas. Bien sûr, il s’agit d’une propriété mathématique, on ne pourra jamais construire physiquement un tel ensemble, mais cela a un sens malgré tout.
Le paradoxe dit donc qu’on peut multiplier les petits pois ou transformer une grenouille en quelque chose de plus gros que le bœuf dès l’instant qu’on passe par une étape où on les coupe en morceaux non mesurables, c’est-à-dire une étape où le volume perd son sens, donc on peut réassembler ces morceaux en un objet « plus gros » sans avoir à dire que la grenouille et le bœuf ont le même volume puisque le volume du résultat n’est pas la somme des volumes des morceaux pour la bonne raison qu’ils n’ont pas de volume.
Enoncé plus précis du paradoxe
Soit A,B deux parties d’un ensemble E. On dit que A et B sont équidécomposables suivant un groupe de transformation G s’il existe deux suites finies d’ensembles 
et 
telles que :
(par exemple, tout parallélogramme est équidecomposable à un rectangle)
L’équidécomposabilité est une relation d'équivalence, donc elle est symétrique, réflexive et transitive.
À noter ici qu’il ne serait pas intéressant d’inclure les homothéties dans G. On prend donc généralement le groupe des isométries (translations et rotations).
Un ensemble E est dit « dédoublable » (en anglais paradoxis ensemblis) s’il existe deux ensembles A et B non vides tels que E=A
B (union disjointe) et tels que A,B,E soient équidécomposables.
Montrer le résultat de Banach Tarski revient à montrer que la boule unité de est dédoublable suivant le groupe des isométries de .
Un exemple d’ensemble non mesurable
Soit R une relation d'équivalence définie par :
x,y 
xRy 
x-y 
Soit Sn un ensemble tel que Sn contienne un et un seul élément de chaque classe d’équivalence de R. (C’est ici qu’on utilise l’axiome du choix, en effet on ne sait pas construire de fonction de 
telle qu’elle renvoie un et un seul élément de chaque classe d’équivalence, donc on est obligé de supposer son existence. En gros, la question est de savoir s’il est légitime de manipuler les ensembles Sn alors qu’on ne sait pas en donner ne serait-ce qu’un exemple particulier).
On peut montrer que Sn n’est pas mesurable (c’est-à-dire qu’il n’appartient pas à la tribu de Lebesgue).